Exercício 2: Calcule os determinantes das seguintes matrizes e, quando cabível, as respectivas inversas. A_{1}=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado fornece a matriz A_{1} e pede para calcular o determinante e, quando possível, a inversa. Informações dadas:
Fórmula e ideia para o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b primeira linha segunda coluna, etc. Essa fórmula vem da definição de determinante para 2\times2 e é a maneira mais direta de calcular.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso A_{1}. Identificando os elementos:
a=3,\quad b=5,\quad c=2,\quad d=4.
Então
\det(A_{1})=a d - b c = 3\cdot4 - 5\cdot2.
Calcule passo a passo:
3\cdot4 = 12,\qquad 5\cdot2=10,
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\det(A_{1}) = 12-10 = 2.
Passo 4
Conclusão sobre inversibilidade. Uma matriz quadrada é invertível (tem inversa) se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Como
\det(A_{1})=2 \neq 0,
a matriz A_{1} é invertível e podemos calcular A_{1}^{-1}.
Passo 5
Fórmula e ideia para a inversa de uma matriz 2\times2. Para
Essa fórmula vem da adjunta (matriz adjunta) e da propriedade M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M). Aqui trocou-se a e d, e colocou-se sinais negativos em b e c.]
Passo 6
Aplicando a fórmula para A_{1}. Já temos \det(A_{1})=2, e os elementos a,b,c,d já identificados. Então