Exercício 2: Calcule os determinantes das seguintes matrizes e, quando cabível, as respectivas inversas.
A_{1}=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\\\ 2 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A_{1} e pede para calcular o determinante e, quando possível, a inversa. Informações dadas:
  • Matriz:
A_{1}=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
  • Pedidos:
    • Calcular \det(A_{1}).
    • Se \det(A_{1})\neq0, calcular A_{1}^{-1}.]

Passo 2

Fórmula e ideia para o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b primeira linha segunda coluna, etc. Essa fórmula vem da definição de determinante para 2\times2 e é a maneira mais direta de calcular.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso A_{1}. Identificando os elementos:
a=3,\quad b=5,\quad c=2,\quad d=4.
Então
\det(A_{1})=a d - b c = 3\cdot4 - 5\cdot2.
Calcule passo a passo:
3\cdot4 = 12,\qquad 5\cdot2=10,
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\det(A_{1}) = 12-10 = 2.

Passo 4

Conclusão sobre inversibilidade. Uma matriz quadrada é invertível (tem inversa) se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Como
\det(A_{1})=2 \neq 0,
a matriz A_{1} é invertível e podemos calcular A_{1}^{-1}.

Passo 5

Fórmula e ideia para a inversa de uma matriz 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com \det(M)\neq0, a inversa é
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Essa fórmula vem da adjunta (matriz adjunta) e da propriedade M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\operatorname{adj}(M). Aqui trocou-se a e d, e colocou-se sinais negativos em b e c.]

Passo 6

Aplicando a fórmula para A_{1}. Já temos \det(A_{1})=2, e os elementos a,b,c,d já identificados. Então
A_{1}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -5 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
Distribuindo o \tfrac{1}{2} para deixar em forma mais direta:
A_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -\tfrac{5}{2} \\[4pt] -1 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): multiplicar A_{1} por A_{1}^{-1} deve dar a matriz identidade I_{2}. Calculando A_{1}A_{1}^{-1}:
\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -\tfrac{5}{2} \\[4pt] -1 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot2 + 5\cdot(-1) & 3\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) + 5\cdot\tfrac{3}{2} \\[6pt] 2\cdot2 + 4\cdot(-1) & 2\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) + 4\cdot\tfrac{3}{2} \end{pmatrix}.
Calcule cada entrada:
3\cdot2 + 5\cdot(-1)=6-5=1,
3\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) + 5\cdot\tfrac{3}{2} = -\tfrac{15}{2} + \tfrac{15}{2} = 0,
2\cdot2 + 4\cdot(-1)=4-4=0,
2\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) + 4\cdot\tfrac{3}{2} = -5 + 6 = 1.
Portanto o produto é
A_{1}A_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_{2},
confirmando que a inversa calculada está correta.]

Resposta

\det(A_{1})=2
A_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -\tfrac{5}{2} \\[4pt] -1 & \tfrac{3}{2}\end{pmatrix}]

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