Exercício 3: Calcule a distância entre os planos pi1: x+2 y+3 z=1 e
pi2: 2 x+4 y+6 z-10=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre dois planos paralelos em R^3: pi1:x+2y+3z=1 e pi2:2x+4y+6z-10=0. O conteúdo envolve a fórmula da distância entre planos paralelos e vamos precisar escrever as equações em forma padrão ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor normal de cada plano e verificamos o paralelismo. Para pi1 já temos o normal n=(1,2,3) e a equação em forma padrão é
x+2y+3z-1=0

Passo 3

Para pi2, dividimos a equação por 2 para facilitar a comparação:
2x+4y+6z-10=0Longrightarrow x+2y+3z-5=0,
o que mostra que o normal também é n=(1,2,3), logo os planos são paralelos.

Passo 4

A fórmula da distância D entre dois planos paralelos ax+by+cz+d1=0 e ax+by+cz+d2=0 é
D=|d2-d1|raiza^2+b^2+c^2

Passo 5

Aqui temos d1=-1 (em x+2y+3z-1=0) e d2=-5 (em x+2y+3z-5=0), e o módulo do normal é
|n|=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14

Passo 6

Calculando a distância:
D=|(-5)-(-1)|raiz14=4raiz14=2raiz147

Resposta

A distância entre os planos é 4raiz14=2raiz147.

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