Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(derivada segunda de
)
Passo 1
Neste exercício vamos analisar a transformação
definida por
. O conteúdo é transformações lineares em espaços de polinômios e vamos usar a definição de linearidade que exige aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Verificamos a aditividade. Para quaisquer polinômios
, temos
Isso mostra que
preserva a soma.
Passo 3
Verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar
e polinômio
, temos
Isso mostra que
preserva a multiplicação por escalar.
Passo 4
Como ambas as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade) foram verificadas, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.