Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(derivada segunda de )

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a transformação T: mathscrPn(R)to mathscrPn(R) definida por T(p)=p''. O conteúdo é transformações lineares em espaços de polinômios e vamos usar a definição de linearidade que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Para quaisquer polinômios p,qin mathscrPn(R), temos
T(p+q)=(p+q)''=p''+q''=T(p)+T(q)
Isso mostra que T preserva a soma.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para qualquer escalar alphainR e polinômio pin mathscrPn(R), temos
T(alpha p)=(alpha p)''=alpha p''=alpha T(p)
Isso mostra que T preserva a multiplicação por escalar.

Passo 4

Como ambas as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade) foram verificadas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(p)=p'' é linear.

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