Verifique se as transformações abaixo são lineares:
denota a transposta de , i.e., a matriz cujas colunas são as linhas de , na mesma ordem)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação T: M(ntimes n,R)to M(ntimes n,R) dada por T(A)=A^t. O conteúdo aqui é transformação linear entre espaços vetoriais e vamos precisar verificar duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade: seja A,Bin M(ntimes n,R). Lembrando que a soma de matrizes é feita componente a componente e que a transposta satisfaz (A^t)ij=Aji, temos
T(A+B)=(A+B)^t=A^t+B^t=T(A)+T(B)

Passo 3

Verificação da homogeneidade: seja cinR e Ain M(ntimes n,R). Como (cA)ij=c,Aij e ao transpor trocamos índices, vem
T(cA)=(cA)^t=c,A^t=c,T(A)

Resposta

T é linear.

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