Questão 14: Uma matriz simétrica A possui os autovalores 3,-3, com os respectivos autovetores craiz22 -raiz22 e craiz22 raiz22. Qual é a matriz A ? Esta matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida ?
Solução: Seja ccraiz22 & raiz22 -raiz22 & raiz22 a matriz composta pelos autovetores de A rr3 & 0 0 & -3 a matriz diagonal composta pelos autovalores de A, temos A= rr0 & -3 -3 & 0. Como a matriz possui autovalores positivos e negativos, sabemos que a matriz é indefinida. Ou seja, existem x in R^2 tal que x^T A x>0 e x^T A x<0. Note que, qualquer x^T A x<0 qualquer satisfaz .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz simétrica A em R^2 com autovalores 3 e –3 e autovetores dados por v1 = raiz22 -raiz22 e v2 = raiz22 raiz22. Precisamos encontrar a própria matriz A e determinar se ela é positiva definida, negativa definida ou indefinida. O conteúdo envolvido é a decomposição espectral de matrizes simétricas e o critério de definitude via sinais dos autovalores.

Passo 2

Para matrizes simétricas existe a decomposição espectral A = V,Lambda,V^T, em que as colunas de V são autovetores ortonormais de A e Lambda é a matriz diagonal de autovalores correspondentes.

Passo 3

Construímos primeiro a matriz V usando os autovetores dados e a matriz diagonal Lambda com os autovalores:
V = tfracraiz22 & tfracraiz22 -tfracraiz22 & tfracraiz22 , Lambda = 3 & 00 & -3

Passo 4

Agora calculamos A = V,Lambda,V^T. Primeiro VLambda = 3tfracraiz22 & -3tfracraiz22 -3tfracraiz22 & -3tfracraiz22. Em seguida multiplicamos por V^T:
A = VLambda V^T = 0 & -3-3 & 0

Passo 5

Para classificar a matriz usamos o fato de que uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos, negativa definida se todos são negativos, e indefinida se têm sinais mistos. Aqui temos um autovalor positivo (3) e outro negativo (–3), logo a matriz é indefinida.

Resposta

A = 0 & -3 -3 & 0
A matriz é indefinida.

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