Questão 14: Uma matriz simétrica
possui os autovalores
, com os respectivos autovetores
e
. Qual é a matriz
? Esta matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida ?
Solução: Seja
a matriz composta pelos autovetores de
a matriz diagonal composta pelos autovalores de
, temos
. Como a matriz possui autovalores positivos e negativos, sabemos que a matriz é indefinida. Ou seja, existem
tal que
. Note que, qualquer
qualquer
satisfaz
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz simétrica
em
com autovalores 3 e –3 e autovetores dados por
e
. Precisamos encontrar a própria matriz
e determinar se ela é positiva definida, negativa definida ou indefinida. O conteúdo envolvido é a decomposição espectral de matrizes simétricas e o critério de definitude via sinais dos autovalores.
Passo 2
Para matrizes simétricas existe a decomposição espectral
, em que as colunas de
são autovetores ortonormais de
e
é a matriz diagonal de autovalores correspondentes.
Passo 3
Construímos primeiro a matriz
usando os autovetores dados e a matriz diagonal
com os autovalores:
Passo 4
Agora calculamos
. Primeiro
. Em seguida multiplicamos por
:
Passo 5
Para classificar a matriz usamos o fato de que uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos, negativa definida se todos são negativos, e indefinida se têm sinais mistos. Aqui temos um autovalor positivo (3) e outro negativo (–3), logo a matriz é indefinida.
Resposta
A matriz é indefinida.