Questão 16: Suponha que a matriz
das duas questões anteriores tenha o seu autovalor -3 sustituído por 0 , preservando os autovetores. O que você
pode dizer sobre os quatro espaços fundamentais desta nova matriz
? Isto é, caracterize todos os quatro espaços fundamentais com suas dimensões. Esta matriz é positiva definida, semi-positiva definida, negativa definida ou seminegativa definida ?
Solução: A nova matriz
. Note que
e que
. Logo,
, o rank de
ér
, e
. Como a matriz ainda é simétrica,
, e
, e a dimensão do nulo é
. Como
não possui autovalores negativos, mas possui um autovalor 0 , e os determinantes de suas submatrizes principais são
e 0 , A é semi-positiva definida.
pode dizer sobre os quatro espaços fundamentais desta nova matriz
Passo 1
O enunciado apresenta uma matriz 2×2 simétrica cujos autovalores originais eram 3 e –3, mas agora o –3 foi substituído por 0, mantendo os mesmos autovetores. Precisamos caracterizar os quatro espaços fundamentais (espaço coluna, espaço nulo, espaço linha e espaço nulo à esquerda) e determinar se a matriz é definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou semidefinida negativa.
Passo 2
Como A é simétrica, podemos usar a decomposição espectral. Sejam v₁ e v₂ os autovetores associados a λ₁=3 e λ₂=0, respectivamente. Então
Passo 3
O posto (rank) de A é o número de autovalores não nulos, ou seja, 1. Logo,
Passo 4
O espaço coluna C(A) é gerado pelo autovetor v₁ correspondente a λ₁=3:
Passo 5
O espaço nulo N(A) (kernel) é o conjunto dos vetores que A leva a zero. Como λ₂=0,
Passo 6
Por simetria, o espaço linha C(A^T) coincide com C(A) e o espaço nulo à esquerda N(A^T) coincide com N(A):
Passo 7
Os autovalores de A são 3 e 0, ambos não negativos. Portanto, A não tem autovalores negativos e tem pelo menos um zero, o que caracteriza uma matriz semidefinida positiva.
Resposta
C(A)=span{v₁}, dim=1; N(A)=span{v₂}, dim=1; C(A^T)=span{v₁}, dim=1; N(A^T)=span{v₂}, dim=1. A é semidefinida positiva.