Questão 16: Suponha que a matriz A das duas questões anteriores tenha o seu autovalor -3 sustituído por 0 , preservando os autovetores. O que você
pode dizer sobre os quatro espaços fundamentais desta nova matriz A ? Isto é, caracterize todos os quatro espaços fundamentais com suas dimensões. Esta matriz é positiva definida, semi-positiva definida, negativa definida ou seminegativa definida ?
Solução: A nova matriz cc32 & -32 -32 & 32. Note que a1=-1 times a2 e que v1 perp v2. Logo, A, o rank de =1 ér m=n-r=2-1=1, e A. Como a matriz ainda é simétrica, 32, e , e a dimensão do nulo é . Como não possui autovalores negativos, mas possui um autovalor 0 , e os determinantes de suas submatrizes principais são e 0 , A é semi-positiva definida.

Passo 1

O enunciado apresenta uma matriz 2×2 simétrica cujos autovalores originais eram 3 e –3, mas agora o –3 foi substituído por 0, mantendo os mesmos autovetores. Precisamos caracterizar os quatro espaços fundamentais (espaço coluna, espaço nulo, espaço linha e espaço nulo à esquerda) e determinar se a matriz é definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa ou semidefinida negativa.

Passo 2

Como A é simétrica, podemos usar a decomposição espectral. Sejam v₁ e v₂ os autovetores associados a λ₁=3 e λ₂=0, respectivamente. Então
A = V Lambda V^T, V=[v₁;v₂], Lambda=3 & 00 & 0

Passo 3

O posto (rank) de A é o número de autovalores não nulos, ou seja, 1. Logo,
diml(C(A)r)=rank(A)=1

Passo 4

O espaço coluna C(A) é gerado pelo autovetor v₁ correspondente a λ₁=3:
C(A)=spanv₁, diml(C(A)r)=1

Passo 5

O espaço nulo N(A) (kernel) é o conjunto dos vetores que A leva a zero. Como λ₂=0,
N(A)=spanv₂, diml(N(A)r)=1

Passo 6

Por simetria, o espaço linha C(A^T) coincide com C(A) e o espaço nulo à esquerda N(A^T) coincide com N(A):
C(A^T)=C(A), N(A^T)=N(A)

Passo 7

Os autovalores de A são 3 e 0, ambos não negativos. Portanto, A não tem autovalores negativos e tem pelo menos um zero, o que caracteriza uma matriz semidefinida positiva.

Resposta

C(A)=span{v₁}, dim=1; N(A)=span{v₂}, dim=1; C(A^T)=span{v₁}, dim=1; N(A^T)=span{v₂}, dim=1. A é semidefinida positiva.

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