Exercício 2. Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y)=(-y, x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência do campo vetorial em duas dimensões \vec{F}(x,y)=(-y,x). Vamos usar a definição de divergência em coordenadas cartesianas:
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de cada componente. A primeira componente é F_{1}(x,y)=-y, então
\frac{\partial}{\partial x}(-y)=0
já que y é tratado como constante em relação a x. A segunda componente é F_{2}(x,y)=x, então
\frac{\partial}{\partial y}(x)=0
pois x é constante em relação a y. Somando os resultados, obtemos
\nabla\cdot\vec{F} = 0 + 0 = 0.

Resposta

\nabla\cdot \vec{F}(x,y) = 0

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