Exercício 3. Calcule as integrais de linha sobre a curva \gamma especificada:
\int_{\gamma} x e^{y} d s, \gamma é o segmento de reta que liga (2,0) a (5,4).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo de um segmento de reta. O conteúdo é “integral de linha de f(x,y) com respeito a ds”, e a ideia é parametrizar a curva \gamma e usar
ds = \|\gamma'(t)\|\,dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de (2,0) a (5,4) por
\gamma(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(2+3t,\;4t\bigr),\quad t\in[0,1].
Então
\gamma'(t) = (3,4),
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\|\gamma'(t)\| = \sqrt{3^2+4^2}=5,
e
ds = 5\,dt.

Passo 3

A função sob integral é f(x,y)=x e^{y}. Substituindo a parametrização,
x(t)=2+3t,\quad y(t)=4t,
fica
f\bigl(\gamma(t)\bigr) = (2+3t)\,e^{4t}.
Portanto a integral vira
\int_{\gamma}x e^{y}\,ds = \int_{0}^{1}(2+3t)e^{4t}\cdot5\,dt =5\int_{0}^{1}(2+3t)e^{4t}\,dt.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int(2+3t)e^{4t}dt, separamos:
\int(2+3t)e^{4t}dt =2\int e^{4t}dt+3\int t e^{4t}dt.
Sabendo que \displaystyle\int e^{4t}dt=\tfrac{1}{4}e^{4t} e usando parts em \displaystyle\int t e^{4t}dt, chega-se a
\int(2+3t)e^{4t}dt =e^{4t}\Bigl(\tfrac{5}{16}+\tfrac{3t}{4}\Bigr)+C =\frac{e^{4t}(5+12t)}{16}+C.

Passo 5

Voltando ao nosso caso,
5\int_{0}^{1}(2+3t)e^{4t}dt =5\biggl[\frac{e^{4t}(5+12t)}{16}\biggr]_{0}^{1} =\frac{5}{16}\Bigl(e^{4}(5+12)- (5+0)\Bigr) =\frac{5}{16}\bigl(17e^{4}-5\bigr).

Resposta

\int_{\gamma} x e^{y}\,ds =\frac{5}{16}\bigl(17e^{4}-5\bigr).

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