Exercício 3. Calcule as integrais de linha sobre a curva \gamma especificada:
\int_{\gamma} x^{2} y d s, \gamma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t), 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x^{2}y ao longo da curva \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t), com 0\le t\le \pi/2. O conteúdo é integral de linha de função escalar, que usa parametrização e comprimento de arco.

Passo 2

Para uma curva parametrizada por \gamma(t), a integral de linha de f em relação a ds é
\int_{\gamma}f\,ds \;=\;\int_{a}^{b}f\bigl(\gamma(t)\bigr)\,\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada \gamma'(t) e seu módulo:
\gamma'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1),
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1} =\sqrt{1+1} =\sqrt{2}.

Passo 4

Substituímos x=\cos t e y=\sin t em f e montamos a integral:
f\bigl(\gamma(t)\bigr) =(\cos t)^{2}\,\sin t,
\int_{\gamma}x^{2}y\,ds =\int_{0}^{\pi/2}(\cos^{2}t\,\sin t)\,\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,\sin t\,dt.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,\sin t\,dt, usamos u=\cos t, du=-\sin t\,dt:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,\sin t\,dt =\int_{u(0)=1}^{u(\pi/2)=0}u^{2}(-du) =-\biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{1}^{0} =\frac{1}{3}.
Multiplicando por \sqrt{2} obtemos
\int_{\gamma}x^{2}y\,ds =\sqrt{2}\,\frac{1}{3} =\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}

Exercícios relacionados