Exercício 2. Calcule a divergência dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=\left(z, x+y, z^{2}\right);

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(z,\;x+y,\;z^{2}\bigr)
e pede a divergência, que é definida por
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z}.

Passo 2

Calculemos \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x}. Como F_{1}(x,y,z) = z, que não depende de x, temos
\frac{\partial F_{1}}{\partial x} = 0.

Passo 3

Em seguida, \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial y}. Aqui F_{2}(x,y,z) = x + y, logo
\frac{\partial F_{2}}{\partial y} = 1.

Passo 4

Por fim, \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial z}. Visto que F_{3}(x,y,z) = z^{2}, obtemos
\frac{\partial F_{3}}{\partial z} = 2z.

Passo 5

Somando as derivadas parciais:
\nabla\cdot\vec{F} = 0 + 1 + 2z = 1 + 2z.

Resposta

\nabla\cdot\vec{F}(x,y,z) = 1 + 2z.

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