Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{3 x-1}{x^{2}-4} em x_{0}=-1

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função racional f no ponto cuja abscissa é x_{0}=-1.
Informações dadas:
f(x)=\frac{3x-1}{x^{2}-4}, \qquad x_{0}=-1.
O que precisamos encontrar: o ponto de tangência \big(x_{0},f(x_{0})\big) e a inclinação (coeficiente angular) da tangente m=f'(x_{0}). Com esses dois dados montamos a reta pela fórmula ponto-declive.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a reta tangente a uma curva y=f(x) em x=x_{0} tem equação na forma ponto-declive
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\,(x-x_{0}).
Aqui f(x_{0}) é a ordenada do ponto de tangência e f'(x_{0}) é a derivada de f em x_{0}, que representa a inclinação da curva naquele ponto — ou seja, a inclinação da reta tangente.
Para obter f'(x) usaremos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
No nosso caso escolhemos
u(x)=3x-1,\qquad v(x)=x^{2}-4.
Derivando: u'(x)=3 e v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{3\,(x^{2}-4)-(3x-1)\,2x}{(x^{2}-4)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
3\,(x^{2}-4)=3x^{2}-12,
(3x-1)\,2x=6x^{2}-2x,
\text{numerador}=3x^{2}-12-(6x^{2}-2x) = 3x^{2}-12-6x^{2}+2x = -3x^{2}+2x-12.
Portanto
f'(x)=\frac{-3x^{2}+2x-12}{(x^{2}-4)^{2}}.

Passo 4

Calculamos a inclinação no ponto x_{0}=-1 substituindo na expressão de f'(x). Primeiro o numerador:
-3(-1)^{2}+2(-1)-12 = -3\cdot1 -2 -12 = -3-2-12 = -17.
O denominador:
\big((-1)^{2}-4\big)^{2} = (1-4)^{2}=(-3)^{2}=9.
Logo
f'(-1)=\frac{-17}{9}.
Então a inclinação da reta tangente é m=-\dfrac{17}{9}.

Passo 5

Agora calculamos a ordenada do ponto de tangência f(-1):
f(-1)=\frac{3(-1)-1}{(-1)^{2}-4}=\frac{-3-1}{1-4}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}.
Logo o ponto de tangência é \big(-1,\tfrac{4}{3}\big).

Passo 6

Montamos a equação da reta usando a forma ponto-declive:
y = f(-1) + f'(-1)\,(x-(-1)) = \frac{4}{3} - \frac{17}{9}\,(x+1).
Agora simplificamos para a forma y=mx+b. Primeiro distribuindo:
y = \frac{4}{3} - \frac{17}{9}x - \frac{17}{9}.
Colocando tudo em novenos para somar constantes: \tfrac{4}{3}=\tfrac{12}{9}, então
y = -\frac{17}{9}x + \left(\frac{12}{9}-\frac{17}{9}\right) = -\frac{17}{9}x - \frac{5}{9}.
Como forma alternativa com coeficientes inteiros, multiplicando por 9 obtemos 9y = -17x -5 ou
17x + 9y + 5 = 0.

Resposta

y = -\frac{17}{9}x - \frac{5}{9}

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