Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à função racional
no ponto cuja abscissa é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: o ponto de tangência
e a inclinação (coeficiente angular) da tangente
. Com esses dois dados montamos a reta pela fórmula ponto-declive.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a reta tangente a uma curva
em
tem equação na forma ponto-declive
Aqui
é a ordenada do ponto de tangência e
é a derivada de
em
, que representa a inclinação da curva naquele ponto — ou seja, a inclinação da reta tangente.
Para obter usaremos a regra do quociente: se
, então
Para obter
No nosso caso escolhemos
Derivando:
e
.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 4
Calculamos a inclinação no ponto
substituindo na expressão de
. Primeiro o numerador:
O denominador:
Logo
Então a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora calculamos a ordenada do ponto de tangência
:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 6
Montamos a equação da reta usando a forma ponto-declive:
Agora simplificamos para a forma
. Primeiro distribuindo:
Colocando tudo em novenos para somar constantes:
, então
Como forma alternativa com coeficientes inteiros, multiplicando por
obtemos
ou