Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
em
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à função racional
no ponto indicado. Informações dadas:
O que precisamos encontrar:
- o ponto de tangência
; - a derivada
e seu valor em , que será a inclinação da reta tangente; - a equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação.
Passo 2
Primeiro simplificamos a função para facilitar derivação. Observe o numerador:
Fazendo divisão polinomial de
por
(ou reconhecendo que
), temos resto
. Logo
Essa forma é útil porque permite derivar termo a termo.
Passo 3
Calculamos o valor da função no ponto
. Usando a forma simplificada:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora derivamos
. Usando a forma
, derivamos termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - Para
escrevemos . A regra da potência combinada com a regra da cadeia dá:
Somando as partes:
Passo 5
Calculamos a inclinação da tangente em
:
Então a reta tangente tem inclinação
.
Passo 6
Usamos a fórmula da reta tangente em um ponto: se o ponto é
e a inclinação é
, a equação é
Substituindo
,
e
:
Desenvolvendo: