Exercício 5. Calcule a equação da reta tangente às seguintes funções racionais nos pontos indicados:
f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x+3} em x_{0}=-2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função racional f no ponto indicado. Informações dadas:
f(x)=\frac{x^{2}+2x+1}{x+3},\qquad x_{0}=-2.
O que precisamos encontrar:
  1. o ponto de tangência \big(x_{0},f(x_{0})\big);
  2. a derivada f'(x) e seu valor em x_{0}, que será a inclinação m da reta tangente;
  3. a equação da reta tangente usando o ponto e a inclinação.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função para facilitar derivação. Observe o numerador:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Fazendo divisão polinomial de x^{2}+2x+1 por x+3 (ou reconhecendo que (x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3), temos resto 4. Logo
\frac{x^{2}+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}.
Essa forma é útil porque permite derivar termo a termo.

Passo 3

Calculamos o valor da função no ponto x_{0}=-2. Usando a forma simplificada:
f(-2)=(-2)-1+\frac{4}{-2+3}=-3+\frac{4}{1}=-3+4=1.
Portanto o ponto de tangência é (-2,1).

Passo 4

Agora derivamos f(x). Usando a forma f(x)=x-1+\dfrac{4}{x+3}, derivamos termo a termo:
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de -1 é 0.
  • Para \dfrac{4}{x+3} escrevemos 4\cdot (x+3)^{-1}. A regra da potência combinada com a regra da cadeia dá:
\frac{d}{dx}\left(4(x+3)^{-1}\right)=4\cdot(-1)(x+3)^{-2}\cdot 1 = -\frac{4}{(x+3)^{2}}.
Somando as partes:
f'(x)=1-\frac{4}{(x+3)^{2}}.

Passo 5

Calculamos a inclinação da tangente em x_{0}=-2:
f'(-2)=1-\frac{4}{(-2+3)^{2}}=1-\frac{4}{1^{2}}=1-4=-3.
Então a reta tangente tem inclinação m=-3.

Passo 6

Usamos a fórmula da reta tangente em um ponto: se o ponto é (x_{0},y_{0}) e a inclinação é m, a equação é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=-2, y_{0}=1 e m=-3:
y-1=-3\big(x-(-2)\big)= -3(x+2).
Desenvolvendo:
y-1=-3x-6 \quad\Rightarrow\quad y=-3x-5.

Resposta

y=-3x-5

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