Exercício 3. Calcule a esperança, a variância e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatória discretas:
O valor em uma jogada de um dado não viciado;

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória discreta X como o resultado de uma jogada de um dado não viciado, ou seja,
P(X = k) = \frac{1}{6},\quad k = 1,2,3,4,5,6.
Queremos calcular a esperança \mathbb{E}(X), a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio-padrão \sigma_X. Para isso usaremos as fórmulas
\mathbb{E}(X) = \sum_k k\,P(X=k), \quad \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2, \quad \sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}.

Passo 2

Calculamos primeiro a esperança somando cada valor vezes sua probabilidade:
\mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3{,}5.

Passo 3

Agora calculamos o segundo momento \mathbb{E}(X^2):
\mathbb{E}(X^2) = \sum_{k=1}^{6} k^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}.

Passo 4

Usando a definição de variância:
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2 = \frac{91}{6} - \bigl(\tfrac{7}{2}\bigr)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12}.

Passo 5

Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}}.

Resposta

\mathbb{E}(X)=\tfrac{7}{2}, \mathrm{Var}(X)=\tfrac{35}{12}, \sigma_X=\sqrt{\tfrac{35}{12}}.

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