Exercício 3. Calcule a esperança, a variância e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatória discretas:
O valor em uma jogada de um dado viciado em que a probabilidade é inversamente proporcional a cada número (isto é, a probabilidade de dar 1 é seis vezes maior que a de dar 6);

Passo 1

O enunciado diz que X é o valor obtido ao lançar um dado viciado cujas probabilidades satisfazem \displaystyle P(X=x)\propto \frac1x para x=1,2,\dots,6.
Queremos calcular a esperança \mathbb{E}[X], a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio-padrão \sigma_X.

Passo 2

Primeiro achamos a constante de normalização k tal que
\sum_{x=1}^{6}P(X=x) =\sum_{x=1}^{6}k\frac1x =k\sum_{x=1}^{6}\frac1x =k\bigl(1+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac15+\tfrac16\bigr) =k\frac{147}{60} =k\frac{49}{20} =1.
Logo
k=\frac{20}{49},
e portanto \displaystyle P(X=x)=\frac{20}{49}\,\frac1x.

Passo 3

Agora calculamos a esperança usando
\mathbb{E}[X] =\sum_{x=1}^{6}x\,P(X=x) =\sum_{x=1}^{6}x\Bigl(\frac{20}{49}\frac1x\Bigr) =\frac{20}{49}\sum_{x=1}^{6}1 =\frac{20}{49}\cdot6 =\frac{120}{49}.

Passo 4

Em seguida calculamos o segundo momento
\mathbb{E}[X^2] =\sum_{x=1}^{6}x^2\,P(X=x) =\sum_{x=1}^{6}x^2\Bigl(\frac{20}{49}\frac1x\Bigr) =\frac{20}{49}\sum_{x=1}^{6}x =\frac{20}{49}\cdot21 =\frac{420}{49}.

Passo 5

A variância é
\mathrm{Var}(X) =\mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 =\frac{420}{49} -\Bigl(\frac{120}{49}\Bigr)^{2} =\frac{20580-14400}{2401} =\frac{6180}{2401}.
O desvio-padrão é
\sigma_X =\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =\sqrt{\frac{6180}{2401}} =\frac{\sqrt{6180}}{49} \approx1,604.

Resposta

Esperança \mathbb{E}[X]=\tfrac{120}{49}\approx2,449
Variância \mathrm{Var}(X)=\tfrac{6180}{2401}\approx2,574
Desvio-padrão \sigma_X=\tfrac{\sqrt{6180}}{49}\approx1,604

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