Exercício 3. Calcule a esperança, a variância e o desvio-padrão das seguintes variáveis aleatória discretas:
Ganhos em um jogo de cara ou coroa (com uma moeda não viciada), no qual, após quatro jogadas:
i) para quatro vitórias, o prêmio é de
60
;
iii) para três vitórias alternadas, o prêmio é de
20
;
v) para duas vitórias alternadas, o prêmio é de
0
;
vii) para nenhuma vitória, a penalidade é de
50$.
Ganhos em um jogo de cara ou coroa (com uma moeda não viciada), no qual, após quatro jogadas:
i) para quatro vitórias, o prêmio é de
iii) para três vitórias alternadas, o prêmio é de
v) para duas vitórias alternadas, o prêmio é de
vii) para nenhuma vitória, a penalidade é de
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos para resolver. Temos uma moeda honesta (probabilidade de cara ou coroa igual a
) e fazemos quatro lançamentos. É definida uma variável aleatória
igual ao prêmio (positivo) ou penalidade (negativo) recebido, conforme o padrão de “vitórias” (caras) obtido nos quatro lançamentos. Precisamos calcular a esperança
, a variância
e o desvio-padrão
.
Para isso, precisamos saber exatamente quais sequências de quatro lançamentos caem em cada categoria (i)–(vii) e suas probabilidades (todas as sequências têm probabilidade ). Sem essa classificação exata, não dá para montar a distribuição de
e calcular as fórmulas
Para isso, precisamos saber exatamente quais sequências de quatro lançamentos caem em cada categoria (i)–(vii) e suas probabilidades (todas as sequências têm probabilidade
Passo 2
Analisando cuidadosamente as descrições “três vitórias alternadas” e “duas vitórias alternadas”, encontramos que não há uma definição única e padrão para decidir, dentre as
sequências de quatro lançamentos, quais caem em “três vitórias alternadas” nem quantas são. Sem esse esclarecimento, não conseguimos atribuir de forma consistente cada sequência a uma das categorias (i)–(vii).
Passo 3
Sem a lista exata das sequências incluídas em cada prêmio, não há como computar as probabilidades de cada valor de
, logo não é possível montar a distribuição
. E sem
não dá para aplicar as fórmulas de
,
ou
.
Resposta
Não é possível resolver o exercício com as informações dadas, porque as categorias “três vitórias alternadas” e “duas vitórias alternadas” estão ambíguas e não permitem classificar todas as sequências.