Exercício 1 Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1-\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)}{\pi-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\pi}\frac{1-\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\pi - x}
É um limite de forma indeterminada do tipo 0/0, pois quando x\to\pi temos \sin(\pi/2)=1 e \pi-x\to0. Vamos usar a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
1-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1-1=0
\pi-\pi=0
Logo é permitido aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador
\frac{d}{dx}\bigl[\,1-\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr] =-\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cdot\tfrac12 =-\tfrac12\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
derivada do denominador
\frac{d}{dx}[\pi - x]=-1
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\pi}\frac{1-\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\pi - x} =\lim_{x\to\pi}\frac{-\tfrac12\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{-1} =\frac12\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)

Passo 4

Avaliaremos agora em x=\pi:
\frac12\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac12\cdot 0 =0

Resposta

0

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