Exercício 1 Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow n^{-}}(x-[x])

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \lim_{x\to n^-}(x-[x]),
onde [x] é a função piso e n é um inteiro. Vamos usar a definição de piso para valores de x próximos a n pela esquerda.

Passo 2

Quando x se aproxima de n pela esquerda (isto é, x<n mas arbitrariamente perto de n), temos [x]=n-1
porque, em todo ponto do intervalo (n-1,n), o piso de x é exatamente n-1.

Passo 3

Substituindo [x]=n-1 na expressão x-[x], obtemos
x - [x] \;=\; x - (n-1) \;=\; x - n + 1.

Passo 4

Agora basta tomar o limite de x - n + 1 quando x\to n. Como x\to n^- implica x\to n, temos
\lim_{x\to n^-}(x - n + 1) =\;n - n + 1 =\;1.
Portanto, o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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