Exercício 1 Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{3}-a^{3}}{x^{2}-a^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^3 - a^3}{x^2 - a^2}.
O conteúdo principal aqui é o estudo de limites que geram forma indeterminada \tfrac{0}{0} e a técnica de fatoração de polinômios (diferença de cubos e de quadrados).

Passo 2

Ao substituir x=a diretamente, o numerador e o denominador vão a zero, gerando indeterminação. Para resolver, fatoramos:
x^3 - a^3 = (x - a)\,(x^2 + ax + a^2),
x^2 - a^2 = (x - a)\,(x + a).
Para x\neq a,
\frac{x^3 - a^3}{x^2 - a^2} = \frac{(x - a)\,(x^2 + ax + a^2)}{(x - a)\,(x + a)} = \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a}.

Passo 3

Agora podemos calcular o limite substituindo x = a na expressão simplificada, que já não é indeterminada:
\lim_{x\to a}\frac{x^2 + ax + a^2}{x + a} = \frac{a^2 + a\cdot a + a^2}{a + a} = \frac{3a^2}{2a} = \frac{3a}{2}.

Passo 4

Concluímos que o limite existe para todo a\in\mathbb{R} e vale \tfrac{3a}{2}. No caso a=0, a expressão original fica \tfrac{x^3}{x^2}=x, cujo limite quando x\to0 é 0, compatível com \tfrac{3\cdot0}{2}=0.

Resposta

\displaystyle \frac{3a}{2}

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