\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y) = \frac{x^{2}\,y\,e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Esse tipo de problema cai em cálculo multivariável, onde testamos se o valor do limite independe da trajetória de aproximação.

Passo 2

Uma técnica padrão é aproximar por curvas do tipo
y = k\,x^{2},
com k constante, e verificar se o resultado depende de k. Se depender, o limite não existe.

Passo 3

Substituindo y = kx^{2} em f(x,y):
o numerador vira
x^{2}\bigl(kx^{2}\bigr)e^{\,k x^{2}} = k\,x^{4}e^{\,k x^{2}},
e o denominador vira
x^{4} + 4\bigl(kx^{2}\bigr)^{2} = x^{4} + 4k^{2}x^{4} = x^{4}\bigl(1+4k^{2}\bigr).
Portanto
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{k\,x^{4}e^{\,k x^{2}}}{x^{4}(1+4k^{2})} = \frac{k\,e^{\,k x^{2}}}{1+4k^{2}}.
Fazendo x\to0 obtemos
\lim_{x\to0}f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{k\,e^{0}}{1+4k^{2}} = \frac{k}{1+4k^{2}}.

Passo 4

Esse valor depende de k. Por exemplo,
  • se k=0, o limite vale 0,
  • se k=1, o limite vale \tfrac{1}{5}.
Como diferentes trajetórias dão resultados distintos, o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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