Exercício 1. Determine o rotacional e a divergência dos campos vetoriais abaixo.
\vec{F}(x, y, z)=(\sin y x, \sin z x, \sin x y).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z) = (P,Q,R) = (x\sin y,\;x\sin z,\;y\sin x)
e pede a divergência e o rotacional. Para isso usamos as definições
a divergência
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
e o rotacional
\nabla\times\vec F = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calculemos a divergência.
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(x\sin y) = \sin y, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(x\sin z) = 0, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial z}(y\sin x) = 0.
Somando,
\nabla\cdot\vec F = \sin y + 0 + 0 = \sin y.

Passo 3

Calculemos o rotacional usando cada componente:
  1. Componente i:
\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial y}(y\sin x) - \frac{\partial }{\partial z}(x\sin z) = \sin x - x\cos z.
  1. Componente j:
\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial z}(x\sin y) - \frac{\partial }{\partial x}(y\sin x) = 0 - y\cos x = -\,y\cos x.
  1. Componente k:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial x}(x\sin z) - \frac{\partial }{\partial y}(x\sin y) = \sin z - x\cos y.

Resposta

Divergência:
\nabla\cdot\vec F = \sin y.
Rotacional:
\nabla\times\vec F = (\sin x - x\cos z,\;-y\cos x,\;\sin z - x\cos y).

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