Exercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo:
consiste no hemisfério
e no disco
no plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície fechada
que é composta pelo hemisfério
e pelo disco
no plano
.
O conteúdo necessário é o Teorema da Divergência, pois fecha um volume (a metade superior da bola de raio 1).
O conteúdo necessário é o Teorema da Divergência, pois
Passo 2
Calculamos a divergência de
. Seja
. Então
Usando
(e análogos para
e
), obtemos
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através de
(orientação externa) é
onde
é a metade superior da bola de raio
.
Passo 4
Para avaliar
usamos coordenadas esféricas:
Logo
Logo
Passo 5
Calculamos cada integral:
Portanto