Exercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo:
\vec{F}(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(x, y, z), S consiste no hemisfério z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} e no disco x^{2}+y^{2} \leq 1 no plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,(x,y,z)
através da superfície fechada S que é composta pelo hemisfério
z=\sqrt{1-x^2-y^2}
e pelo disco
x^2+y^2\le1
no plano xy.
O conteúdo necessário é o Teorema da Divergência, pois S fecha um volume (a metade superior da bola de raio 1).

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}. Seja r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Então
\vec{F}=(x\,r,\;y\,r,\;z\,r).
Usando \partial(xr)/\partial x = r + x\,(x/r) (e análogos para y e z), obtemos
\nabla\cdot\vec{F} = \bigl(r + \frac{x^2}{r}\bigr) + \bigl(r + \frac{y^2}{r}\bigr) + \bigl(r + \frac{z^2}{r}\bigr) =3r + \frac{x^2+y^2+z^2}{r} =3r + r =4r.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de \vec{F} através de S (orientação externa) é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV =\iiint_{V}4r\,dV,
onde V é a metade superior da bola de raio 1.

Passo 4

Para avaliar
\iiint_{V}4r\,dV,
usamos coordenadas esféricas:
\;r\in[0,1],\;\varphi\in[0,\tfrac\pi2],\;\theta\in[0,2\pi],\;dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Logo
\iiint_{V}4r\,dV =4\int_{0}^{2\pi}\!\!d\theta \int_{0}^{\frac\pi2}\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{1}\!r\cdot r^2\,dr.

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi,\quad \int_{0}^{\frac\pi2}\sin\varphi\,d\varphi =1,\quad \int_{0}^{1}r^3\,dr =\frac14.
Portanto
4\;\times2\pi\;\times1\;\times\frac14 =2\pi.

Resposta

2\pi

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