\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}},
que envolve uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Vamos usar uma substituição trigonométrica, pois ela elimina essa raiz e leva a uma integral mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = a\,\operatorname{sec}\theta,
com a>0. Dessa forma, derivando, obtemos
dx = a\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta.
Além disso, a raiz fica
\sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta - a^{2}} = a\,\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta -1} = a\,\tan\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original temos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{a\,\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Agora chegamos à integral de \operatorname{sec}\theta, cujo resultado conhecido é
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável x, note que
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{a}, \qquad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}.
Então
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\Bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\Bigr|.
Como \ln\!\bigl|\tfrac{1}{a}\bigr| é constante, podemos absorvê-la em C.

Resposta

\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr| + C.

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