\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+c Passo 1O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}, que envolve uma raiz do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}}. Vamos usar uma substituição trigonométrica, pois ela elimina essa raiz e leva a uma integral mais simples. Passo 2Fazemos a substituição x = a\,\operatorname{sec}\theta, com a>0. Dessa forma, derivando, obtemos dx = a\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta. Além disso, a raiz fica \sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta - a^{2}} = a\,\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta -1} = a\,\tan\theta. Passo 3Substituindo na integral original temos \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \int \frac{a\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{a\,\tan\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta. Agora chegamos à integral de \operatorname{sec}\theta, cujo resultado conhecido é \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C. Passo 4Voltando à variável x, note que \operatorname{sec}\theta = \frac{x}{a}, \qquad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}. Então \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\Bigr| = \ln\!\Bigl|\frac{x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\Bigr|. Como \ln\!\bigl|\tfrac{1}{a}\bigr| é constante, podemos absorvê-la em C. Resposta \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr| + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 4. Calcule o fluxo dos campos vetorias abaixo: \vec{F}(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}(x, y, z), S consiste no hemisfério z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} e no disco x^{2}+y^{2} \leq 1 no plano x y. O pêndulo de Foucault mais famoso na França está localizado no Panthéon, em Paris. Este pêndulo, com 67 metros de comprimento, é uma réplica do original utilizado por Foucault em 1851 para demonstrar a rotação da Terra. Considerando a aceleração da gravidade em Paris igual a 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, quantas oscilações completas ele executa em 1 hora? ( 0,2 pontos) \int a d x=a x+c (0,6 pontos) Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando cada resposta com os cálculos matemáticos correspondentes. a) Se f(x)=2^{x^{2}-5 x} então a inclinação da reta tangente da f em x_{0}=5 é 5 \ln 2. b) A área delimitada pela função f(x)=\sqrt{x} e o eixo das abscissas, com 0 \leq x \leq 4, é maior que 3 u.a.