Exercício 3.7 Calcule o gradiente das funções escalare a seguir:
f(x, y)=x y \cos (x-y),

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função escalar f(x,y)=x\,y\cos(x-y).
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x\,y\cos(x-y).
  • O que se pede: o gradiente de f, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é o gradiente e o que precisamos calcular:
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y constante. Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada em relação a y mantendo x constante.
  • Para calcular essas derivadas vamos usar duas regras básicas:
    1. Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
    \dfrac{\partial}{\partial x}(u v)=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x}.
    1. Regra da cadeia: se v(w) com w=w(x,y), então
    \dfrac{\partial}{\partial x}v(w(x,y))=v'(w(x,y))\cdot\dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • No caso de v(w)=\cos(w) vale v'(w)=-\sin(w).

Passo 3

Preparar a função para aplicar as regras:
  • Escrever f como produto de duas funções mais simples:
f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y), \qquad \text{onde}\qquad u(x,y)=x\,y,\quad v(x,y)=\cos(x-y).
Assim aplicamos a regra do produto para cada derivada parcial.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Derivada parcial de u em relação a x: como u(x,y)=x\,y e y é tratado como constante,
\dfrac{\partial u}{\partial x}=y.
  • Derivada parcial de v em relação a x: v(x,y)=\cos(x-y). Pela regra da cadeia,
\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\sin(x-y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x-y)=-\sin(x-y)\cdot 1=-\sin(x-y).
  • Aplicando a regra do produto:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial x} = y\cos(x-y)+x\,y\bigl(-\sin(x-y)\bigr).
  • Simplificando e, se desejar, colocando em fator comum y:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=y\cos(x-y)-x\,y\sin(x-y) = y\bigl(\cos(x-y)-x\sin(x-y)\bigr).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • Derivada parcial de u em relação a y: como u(x,y)=x\,y e x é constante,
\dfrac{\partial u}{\partial y}=x.
  • Derivada parcial de v em relação a y: v(x,y)=\cos(x-y). Pela regra da cadeia,
\dfrac{\partial v}{\partial y}=-\sin(x-y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(x-y)=-\sin(x-y)\cdot(-1)=\sin(x-y).
  • Aplicando a regra do produto:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial y}\,v+u\,\dfrac{\partial v}{\partial y} = x\cos(x-y)+x\,y\sin(x-y).
  • Simplificando e, se desejar, colocando em fator comum x:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cos(x-y)+x\,y\sin(x-y) = x\bigl(\cos(x-y)+y\sin(x-y)\bigr).

Passo 6

Juntar as componentes para escrever o gradiente:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \bigl(y\cos(x-y)-x\,y\sin(x-y),\; x\cos(x-y)+x\,y\sin(x-y)\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(y\cos(x-y)-x\,y\sin(x-y),\;x\cos(x-y)+x\,y\sin(x-y)\bigr)

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