Exercício 3.7 Calcule o gradiente das funções escalare a seguir:
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente da função escalar
.
Informações dadas:
- A função é
. - O que se pede: o gradiente de
, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais e .
Passo 2
O que é o gradiente e o que precisamos calcular:
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor
- A derivada parcial
é a derivada de em relação a mantendo constante. Analogamente, é a derivada em relação a mantendo constante. - Para calcular essas derivadas vamos usar duas regras básicas:
- Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
com , então
- Regra do produto: se
- No caso de
vale .
Passo 3
Preparar a função para aplicar as regras:
- Escrever
como produto de duas funções mais simples:
Assim aplicamos a regra do produto para cada derivada parcial.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Derivada parcial de
em relação a : como e é tratado como constante,
- Derivada parcial de
em relação a : . Pela regra da cadeia,
- Aplicando a regra do produto:
- Simplificando e, se desejar, colocando em fator comum
:
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Derivada parcial de
em relação a : como e é constante,
- Derivada parcial de
em relação a : . Pela regra da cadeia,
- Aplicando a regra do produto:
- Simplificando e, se desejar, colocando em fator comum
:
Passo 6
Juntar as componentes para escrever o gradiente: