Obtenha a segunda forma quadrática e a função curvatura normal das seguintes superficies:
Superficie que descreve o gráfico de uma função diferenciável X(u, v)=(u, v, f(u, v)).

Passo 1

O enunciado pede a segunda forma quadrática e a função de curvatura normal da superfície gráfica de uma função diferenciável. Em termos de teoria de superfícies, vamos usar:
– os vetores tangentes X_u e X_v,
– o vetor normal unitário \mathbf{N},
– as derivadas segundas X_{uu},X_{uv},X_{vv} para obter os coeficientes L,M,N da segunda forma quadrática,
– e a relação
k_n(\,(du,dv))=\frac{L\,(du)^2+2M\,(du)(dv)+N\,(dv)^2}{E\,(du)^2+2F\,(du)(dv)+G\,(dv)^2}
para a curvatura normal em direção arbitrária.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de X(u,v)=(u,v,f(u,v)):
X_u=(1,0,f_u), \quad X_v=(0,1,f_v),
onde denotamos f_u=\frac{\partial f}{\partial u} e f_v=\frac{\partial f}{\partial v}.
O vetor normal não unitário é
X_u\times X_v =(1,0,f_u)\times(0,1,f_v) =(-f_u,\,-f_v,\,1).
O fator de normalização é W=\sqrt{1+f_u^2+f_v^2},
logo o normal unitário é
\mathbf{N} =\frac{1}{W}\,(-f_u,\,-f_v,\,1).

Passo 3

Para obter os coeficientes da segunda forma quadrática, precisamos de
X_{uu}=(0,0,f_{uu}), \quad X_{uv}=(0,0,f_{uv}), \quad X_{vv}=(0,0,f_{vv}).
Então
L=\langle X_{uu},\mathbf{N}\rangle =\frac{f_{uu}}{W}, \quad M=\langle X_{uv},\mathbf{N}\rangle =\frac{f_{uv}}{W}, \quad N=\langle X_{vv},\mathbf{N}\rangle =\frac{f_{vv}}{W}.
Portanto a segunda forma quadrática é
\mathrm{II} =L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2 =\frac{f_{uu}\,du^2+2f_{uv}\,du\,dv+f_{vv}\,dv^2}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}}.

Passo 4

Para escrever a curvatura normal precisamos também da primeira forma quadrática, cujos coeficientes são
E=\langle X_u,X_u\rangle=1+f_u^2, \quad F=\langle X_u,X_v\rangle=f_u\,f_v, \quad G=\langle X_v,X_v\rangle=1+f_v^2.

Passo 5

Se (du,dv) determina a direção do vetor tangente T=du\,X_u+dv\,X_v, a curvatura normal nessa direção é
k_n(du,dv) =\frac{L\,(du)^2+2M\,(du)(dv)+N\,(dv)^2} {E\,(du)^2+2F\,(du)(dv)+G\,(dv)^2}.
Substituindo L,M,N e E,F,G, obtemos
k_n(du,dv) =\frac{f_{uu}\,(du)^2+2f_{uv}\,(du)(dv)+f_{vv}\,(dv)^2} {\bigl(1+f_u^2\bigr)(du)^2+2f_u\,f_v\,(du)(dv)+\bigl(1+f_v^2\bigr)(dv)^2} \times\frac{1}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}}.

Resposta

Seguem os resultados finais:
\mathrm{II} =\frac{f_{uu}\,du^2+2f_{uv}\,du\,dv+f_{vv}\,dv^2}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}}
k_n(du,dv) =\frac{f_{uu}\,(du)^2+2f_{uv}\,(du)(dv)+f_{vv}\,(dv)^2} {\Bigl((1+f_u^2)(du)^2+2f_u f_v\,(du)(dv)+(1+f_v^2)(dv)^2\Bigr)\,\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}}.

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