Obtenha a segunda forma quadrática e a função curvatura normal das seguintes superficies:
Superficie que descreve o gráfico de uma função diferenciável
.
Superficie que descreve o gráfico de uma função diferenciável
Passo 1
O enunciado pede a segunda forma quadrática e a função de curvatura normal da superfície gráfica de uma função diferenciável. Em termos de teoria de superfícies, vamos usar:
– os vetores tangentes e
,
– o vetor normal unitário ,
– as derivadas segundas para obter os coeficientes
da segunda forma quadrática,
– e a relação
– os vetores tangentes
– o vetor normal unitário
– as derivadas segundas
– e a relação
para a curvatura normal em direção arbitrária.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas parciais de
:
onde denotamos
e
.
O vetor normal não unitário é
O fator de normalização é
logo o normal unitário é
logo o normal unitário é
Passo 3
Para obter os coeficientes da segunda forma quadrática, precisamos de
Então
Portanto a segunda forma quadrática é
Passo 4
Para escrever a curvatura normal precisamos também da primeira forma quadrática, cujos coeficientes são
Passo 5
Se
determina a direção do vetor tangente
, a curvatura normal nessa direção é
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
Seguem os resultados finais: