Exercício 4. Calcule
utilizando o Teorema de Green, onde
e
é a fronteira da região limitada por
e
, orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
onde
e
é a fronteira da região
entre os círculos
e
, orientada positivamente (isto é, o contorno externo no sentido anti-horário e o interno no sentido horário). Vamos usar o Teorema de Green.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para uma região
no plano com fronteira
orientada positivamente,
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 4
Então
Pela simetria do anel em torno da origem temos
pois as contribuições positivas e negativas de
se cancelam.
Passo 5
Fica apenas