Exercício 4. Calcule \int_{C} F \cdot d r utilizando o Teorema de Green, onde F(x, y)=\left(x+y, y+x^{2}\right) e C é a fronteira da região limitada por x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha \displaystyle \oint_{C}F\cdot d r
onde
F(x,y) = \bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) = \bigl(x+y,\;y + x^2\bigr)
e C é a fronteira da região D entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, orientada positivamente (isto é, o contorno externo no sentido anti-horário e o interno no sentido horário). Vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma região D no plano com fronteira C orientada positivamente,
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y + x^2\bigr) = 2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x + y\bigr) = 1.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 1.

Passo 4

Então
\oint_{C}F\cdot dr = \iint_{D}(2x - 1)\,dA = \iint_{D}2x\,dA \;-\;\iint_{D}1\,dA.
Pela simetria do anel em torno da origem temos
\iint_{D}2x\,dA = 0,
pois as contribuições positivas e negativas de x se cancelam.

Passo 5

Fica apenas
\oint_{C}F\cdot dr = -\,\iint_{D}1\,dA = -\bigl(\text{área do anel}\bigr) = -\bigl(\pi\cdot4 - \pi\cdot1\bigr) = -3\pi.á

Resposta

-3\pi

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