Exercício 5. Calcule \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{5} \operatorname{sen}^{3}(y) \cos (y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{5} \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • A integral é sobre x de 1 a 5 e sobre y de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y), que depende somente de y (ou seja, não depende de x).
  • O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Estratégia: como a integranda não depende de x, a integral interna em x é simples — a função pode ser tratada como constante em relação a x. Regra usada: se g(y) não depende de x, então
\int_{a}^{b} g(y)\, dx = g(y)\int_{a}^{b} dx = g(y)\,(b-a).
Aqui g(y)=\operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y), a=1 e b=5. Vou aplicar essa regra para fazer a integral interna primeiro.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{1}^{5} \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dx = \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\int_{1}^{5} dx = \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\,(5-1).
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\int_{1}^{5} \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dx = 4\,\operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y).

Passo 4

Substituindo na integral dupla reduzimos para uma integral simples em y:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{5} \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dx\, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 4\,\operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dy.
Posso tirar a constante 4 para fora da integral:
= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dy.

Passo 5

Método para integrar \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y): usar substituição. Definir a nova variável
u=\operatorname{sen}(y).
Então a diferencial é
du=\cos(y)\,dy.
Explicando: u é a função seno de y; du representa a variação infinitesimal de u quando y varia, e aparece exatamente o fator \cos(y)\,dy na integral — por isso essa substituição é natural e simplifica a integral.
Também transformar os limites de integração:
  • quando y=0, u=\operatorname{sen}(0)=0;
  • quando y=\tfrac{\pi}{2}, u=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.

Passo 6

Aplicando a substituição na integral:
4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sen}^{3}(y)\cos(y)\, dy = 4\int_{u=0}^{u=1} u^{3}\, du.

Passo 7

Calcular a integral de u^{3}:
\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}.
Portanto
4\int_{0}^{1} u^{3}\, du = 4\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 4\left(\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}\right) = 4\cdot\frac{1}{4} = 1.

Resposta

1

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