Exercício 5. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A integral é sobre
de a e sobre de a . - A função integranda é
, que depende somente de (ou seja, não depende de ). - O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Estratégia: como a integranda não depende de
, a integral interna em
é simples — a função pode ser tratada como constante em relação a
. Regra usada: se
não depende de
, então
Aqui
,
e
. Vou aplicar essa regra para fazer a integral interna primeiro.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Logo
Passo 4
Substituindo na integral dupla reduzimos para uma integral simples em
:
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Método para integrar
: usar substituição. Definir a nova variável
Então a diferencial é
Explicando:
é a função seno de
;
representa a variação infinitesimal de
quando
varia, e aparece exatamente o fator
na integral — por isso essa substituição é natural e simplifica a integral.
Também transformar os limites de integração:
- quando
, ; - quando
, .
Passo 6
Aplicando a substituição na integral:
Passo 7
Calcular a integral de
:
Portanto