Exercício 4. Calcule \int_{2}^{4} \int_{0}^{\pi} \cos ^{2}(x) \operatorname{sen}(x) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{2}^{4}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(x)\,dx\,dy.
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
  • Os limites internos são x de 0 a \pi.
  • Os limites externos são y de 2 a 4.
  • O integrando é \cos^{2}(x)\,\operatorname{sen}(x). (Interpreto \operatorname{sen} como a função seno, ou seja, \sin.)
  • A integral é sobre a região retangular \{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\\\ 2\le y\le4\}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Observação útil (por que isso simplifica): o integrando depende apenas de x e não de y. Para integrais iteradas sobre um retângulo, isso permite separar as integrais e escrever
\int_{2}^{4}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(x)\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(x)\,dx\right) \left(\int_{2}^{4} dy\right).
Explicando de leve: a integral em y de uma função que não depende de y é simplesmente o fator constante vezes a medida do intervalo em y. Então basta calcular a integral em x e multiplicar pelo comprimento do intervalo em y.

Passo 3

Calcular a integral interna
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(x)\,dx.
Usamos substituição. Defina
u=\cos(x).
Então
du=-\sin(x)\,dx\quad\text{ou}\quad \sin(x)\,dx=-du.
Troca dos limites: quando x=0 tem u=\cos(0)=1; quando x=\pi tem u=\cos(\pi)=-1. Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(x)\,dx = \int_{x=0}^{x=\pi} u^{2}\,(\sin(x)\,dx) = \int_{u=1}^{u=-1} u^{2}\,(-du).
O sinal negativo permite trocar os limites:
\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}\,(-du)=\int_{u=-1}^{u=1} u^{2}\,du.
Agora integramos polinomialmente:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Dica rápida alternativa (útil na prova): observar que \dfrac{d}{dx}\big(\cos^{3}x\big)=-3\cos^{2}x\sin x, então a integral seria -\tfrac{1}{3}[\cos^{3}x]_{0}^{\pi}=\tfrac{2}{3}, dá o mesmo resultado.

Passo 4

Calcular a integral em y:
\int_{2}^{4} dy = 4-2 = 2.
Multiplicando pelos resultados:
\left(\int_{0}^{\pi}\cos^{2}(x)\sin(x)\,dx\right)\left(\int_{2}^{4} dy\right) = \frac{2}{3}\cdot 2 = \frac{4}{3}.

Passo 5

Conclusão final e um incentivo rápido: a integral ficou uma conta tranquila ao notar que a função não dependia de y e ao usar a substituição u=\cos x. Você já faz metade do caminho na prova quando percebe essas simplificações — confia que está indo bem!

Resposta

\dfrac{4}{3}

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