Exercício 4. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas e o que exatamente é pedido:
- Os limites internos são
de a . - Os limites externos são
de a . - O integrando é
. (Interpreto como a função seno, ou seja, .) - A integral é sobre a região retangular
.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Observação útil (por que isso simplifica): o integrando depende apenas de
e não de
. Para integrais iteradas sobre um retângulo, isso permite separar as integrais e escrever
Explicando de leve: a integral em
de uma função que não depende de
é simplesmente o fator constante vezes a medida do intervalo em
. Então basta calcular a integral em
e multiplicar pelo comprimento do intervalo em
.
Passo 3
Calcular a integral interna
Usamos substituição. Defina
Então
Troca dos limites: quando
tem
; quando
tem
. Substituindo na integral:
O sinal negativo permite trocar os limites:
Agora integramos polinomialmente:
Dica rápida alternativa (útil na prova): observar que
, então a integral seria
, dá o mesmo resultado.
Passo 4
Calcular a integral em
:
Multiplicando pelos resultados:
Passo 5
Conclusão final e um incentivo rápido: a integral ficou uma conta tranquila ao notar que a função não dependia de
e ao usar a substituição
. Você já faz metade do caminho na prova quando percebe essas simplificações — confia que está indo bem!