Exercício 3 Calcule \int_{\gamma} f(z) d z onde f e \gamma são dados:
f(z)=\frac{3 z e^{z}}{z^{2}+3} e \gamma é o círculo |z|=5 / 4.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Calcular \displaystyle \int_{\gamma} f(z)\,dz.
  • A função é f(z)=\dfrac{3 z e^{z}}{z^{2}+3}.
  • O contorno \gamma é o círculo |z|=\tfrac{5}{4} (orientação positiva, presumivelmente).
    Portanto precisamos avaliar a integral de linha complexa dessa função ao longo do círculo de raio \tfrac{5}{4} centrado na origem.

Passo 2

Localizar singularidades de f:
  • Singularidades ocorrem quando o denominador z^{2}+3 se anula.
  • Resolver z^{2}+3=0
z^{2}=-3\quad\Rightarrow\quad z=\pm i\sqrt{3}.
Logo os pontos singulares são z_{1}=i\sqrt{3} e z_{2}=-i\sqrt{3}.

Passo 3

Verificar se essas singularidades estão dentro do círculo |z|=\tfrac{5}{4}:
  • O módulo de cada singularidade é
|z_{1}|=|z_{2}|=\sqrt{3}\approx 1,732\ldots
  • O raio do círculo é \tfrac{5}{4}=1,25.
  • Como \sqrt{3} > \tfrac{5}{4}, ambos os polos \pm i\sqrt{3} ficam fora da região interior ao círculo |z|=\tfrac{5}{4}.
Observação alternativa (controle por desigualdade): se |z|\le \tfrac{5}{4} então
|z^{2}|\le\left(\tfrac{5}{4}\right)^{2}=\tfrac{25}{16}=1{,}5625<3,
logo |z^{2}+3|\ge 3-|z^{2}|>0. Portanto z^{2}+3\neq0 para todo z no disco |z|\le\tfrac{5}{4}, confirmando que não há zeros do denominador dentro do disco.

Passo 4

Concluir que f é analítica em e dentro de \gamma:
  • A função e^{z} é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).
  • O único possível problema em f vinha de z^{2}+3=0, mas já vimos que esses pontos não estão no disco |z|\le\tfrac{5}{4}.
  • Portanto f é analítica em uma vizinhança que contém o interior do círculo e o próprio círculo \gamma.

Passo 5

Aplicar o teorema de Cauchy (teorema integral de Cauchy):
  • O teorema de Cauchy diz que se uma função é analítica em um domínio que contém uma curva fechada simples e o interior dessa curva, então a integral da função ao longo dessa curva é 0.
  • Como f é analítica em e dentro de \gamma, segue-se diretamente do teorema de Cauchy que
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 0.

Passo 6

(Comentário alternativo — método dos resíduos, para reforçar) Pelo teorema dos resíduos:
\int_{\gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{a_k\\ \text{dentro de }\gamma} \operatorname{Res}(f,a_k).
Aqui não há polos dentro de \gamma, então a soma vazia dá 0, confirmando o resultado anterior.

Resposta

0

Exercícios relacionados