Exercício 3 Calcule
onde
e
são dados:
e
é o círculo
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Calcular
. - A função é
. - O contorno
é o círculo (orientação positiva, presumivelmente).
Portanto precisamos avaliar a integral de linha complexa dessa função ao longo do círculo de raiocentrado na origem.
Passo 2
Localizar singularidades de
:
- Singularidades ocorrem quando o denominador
se anula. - Resolver
dá
Logo os pontos singulares são
e
.
Passo 3
Verificar se essas singularidades estão dentro do círculo
:
- O módulo de cada singularidade é
- O raio do círculo é
. - Como
, ambos os polos ficam fora da região interior ao círculo .
Observação alternativa (controle por desigualdade): se
então
logo
. Portanto
para todo
no disco
, confirmando que não há zeros do denominador dentro do disco.
Passo 4
Concluir que
é analítica em e dentro de
:
- A função
é inteira (analítica em todo ). - O único possível problema em
vinha de , mas já vimos que esses pontos não estão no disco . - Portanto
é analítica em uma vizinhança que contém o interior do círculo e o próprio círculo .
Passo 5
Aplicar o teorema de Cauchy (teorema integral de Cauchy):
- O teorema de Cauchy diz que se uma função é analítica em um domínio que contém uma curva fechada simples e o interior dessa curva, então a integral da função ao longo dessa curva é
. - Como
é analítica em e dentro de , segue-se diretamente do teorema de Cauchy que
Passo 6
(Comentário alternativo — método dos resíduos, para reforçar) Pelo teorema dos resíduos:
Aqui não há polos dentro de
, então a soma vazia dá
, confirmando o resultado anterior.