(1,0 ponto) 3. A reação em série:
\stackrel{k 1}{\mathrm{~A} \rightarrow \mathrm{~B}} \rightarrow^{k 2} \mathrm{C}
é realizada em um reator PFR isotermicamente. A concentração inicial de A é 2,0 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e os valores das velocidades específicas de reação k 1 e k 2 são, respectivamente, 0,50 \mathrm{~h}^{-1} \mathrm{e} 0,20 \mathrm{~h}^{-1}.
A) Calcule o tempo espacial que maximizará a concentração de B.
B) Determine as concentrações de saída do PFR para o tempo de residência máximo.
C) Determine a conversão, a seletividade e o rendimento globais para o tempo de residência máximo.
D) Compare com os resultados que seriam obtidos para um CSTR.

Passo 1

O enunciado trata de uma reação em série \mathrm{A}\xrightarrow{k_1}\mathrm{B}\xrightarrow{k_2}\mathrm{C} ocorrendo em um reator PFR isotérmico com concentração inicial \mathrm{C_{A0}}=2{,}0\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e constantes k_1=0{,}50\\ \mathrm{h^{-1}}, k_2=0{,}20\\ \mathrm{h^{-1}}. Vamos usar as equações de balanço de um PFR e cinética de primeira ordem para obter expressões de \mathrm{C_A}(\tau), \mathrm{C_B}(\tau), \mathrm{C_C}(\tau), depois achar o \tau que maximiza \mathrm{C_B}, calcular as concentrações de saída, e então as variáveis de desempenho (conversão, seletividade, rendimento). Por fim, comparamos com um CSTR operando no mesmo \tau.

Passo 2

Escrevemos as equações de projeto e as soluções para um PFR em série de primeira ordem:
\frac{dC_A}{d\tau}=-k_1C_A,\quad \frac{dC_B}{d\tau}=k_1C_A-k_2C_B,\quad \frac{dC_C}{d\tau}=k_2C_B
Solução analítica conhecida:
C_A(\tau)=C_{A0}e^{-k_1\tau}
C_B(\tau)=C_{A0}\,\frac{k_1}{k_2-k_1}\Bigl(e^{-k_1\tau}-e^{-k_2\tau}\Bigr)
C_C(\tau)=C_{A0}-C_A(\tau)-C_B(\tau)

Passo 3

Para maximizar C_B(\tau), fazemos \frac{dC_B}{d\tau}=0. Da expressão de C_B obtém-se
k_1e^{-k_1\tau}=k_2e^{-k_2\tau} \quad\Longrightarrow\quad e^{-(k_1-k_2)\tau}=\frac{k_2}{k_1}
Logo
\tau^*=\frac{\ln\bigl(k_1/k_2\bigr)}{\,k_1-k_2\,}

Passo 4

Substituindo k_1=0{,}50, k_2=0{,}20:
\tau^*=\frac{\ln(0{,}50/0{,}20)}{0{,}50-0{,}20} =\frac{\ln(2{,}5)}{0{,}30}\approx\frac{0{,}9163}{0{,}30}\approx3{,}05\\ \mathrm{h}

Passo 5

Agora calculamos C_A, C_B e C_C em \tau^*=3{,}05\\ \mathrm{h}:
C_A=2{,}0\,e^{-0.50\cdot3.05}\approx2{,}0\,e^{-1{,}525}\approx2{,}0\cdot0{,}217\approx0{,}434\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
C_B=2{,}0\;\frac{0{,}50}{0{,}20-0{,}50}\bigl(e^{-0.50\cdot3.05}-e^{-0.20\cdot3.05}\bigr)\approx1{,}087\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
C_C=2{,}0-0{,}434-1{,}087\approx0{,}479\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

Passo 6

As variáveis de desempenho em \tau^* são:
\text{conversão }X=\frac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}} =\frac{2{,}0-0{,}434}{2{,}0}\approx0{,}783\\ (78{,}3\%)ã
\text{seletividade }S=\frac{C_B}{C_{A0}-C_A} =\frac{1{,}087}{2{,}0-0{,}434}\approx0{,}694\\ (69{,}4\%)
\text{rendimento }Y=\frac{C_B}{C_{A0}} =\frac{1{,}087}{2{,}0}\approx0{,}543\\ (54{,}3\%)

Passo 7

Para um CSTR com o mesmo \tau=3{,}05\\ \mathrm{h}, temos balanços estacionários de primeira ordem:
C_A=\frac{C_{A0}}{1+k_1\tau} ,\quad C_B=\frac{k_1C_A}{\tfrac1\tau+k_2} ,\quad C_C=C_{A0}-C_A-C_B
Substituindo:
C_A=\frac{2{,}0}{1+0{,}50\cdot3{,}05}\approx\frac{2{,}0}{2{,}525}\approx0{,}792
C_B=\frac{0{,}50\cdot0{,}792}{\tfrac1{3{,}05}+0{,}20} =\frac{0{,}396}{0{,}3279+0{,}20}\approx0{,}751
C_C=2{,}0-0{,}792-0{,}751\approx0{,}457

Passo 8

Calculamos X, S, Y no CSTR:
X=\frac{2{,}0-0{,}792}{2{,}0}\approx0{,}604\\ (60{,}4\%)
S=\frac{0{,}751}{2{,}0-0{,}792}\approx0{,}622\\ (62{,}2\%)
Y=\frac{0{,}751}{2{,}0}\approx0{,}376\\ (37{,}6\%)
Comparação: o PFR atinge \,X,S,Y\approx78{,}3\%,69{,}4\%,54{,}3\%, superiores aos do CSTR \,60{,}4\%,62{,}2\%,37{,}6\%.

Resposta

A) \tau^*\approx3{,}05\\ \mathrm{h}
B) C_A\approx0{,}434\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, C_B\approx1{,}087\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, C_C\approx0{,}479\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
C) X\approx78{,}3\%, S\approx69{,}4\%, Y\approx54{,}3\%
D) No CSTR com \tau=3{,}05\\ \mathrm{h}: C_A\approx0{,}792, C_B\approx0{,}751, C_C\approx0{,}457; X\approx60{,}4\%, S\approx62{,}2\%, Y\approx37{,}6\%. O PFR apresenta melhor rendimento e seletividade.

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