Exercício 2: Calcule as integrais abaixo:
integral0^infty 12^x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral imprópria
integral0^infty 12^x,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de funções exponenciais e o reconhecimento de integrais impróprias do tipo integral0^inftye^-a x,dx.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando a base e:
12^x = 2^-x = e^-xln(2)

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral0^infty2^-x,dx = integral0^inftye^-xln(2),dx,
que é uma integral imprópria da forma integral0^inftye^-a x,dx com a = ln(2) > 0.

Passo 4

Aplicamos a fórmula
integral0^inftye^-a x,dx = 1a
Aqui a = ln(2), logo
integral0^inftye^-xln(2),dx = 1ln(2)

Resposta

integral0^infty12^x,dx = 1ln(2)

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