Exercício 2: Calcule as integrais abaixo:
integral1^infty(1raizx-1raizx+3) d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral imprópria
integral1^inftyl(1raizx - 1raizx+3r),dx
O conteúdo aqui é o de integrais impróprias e antiderivadas de potências. Para resolver, vamos escrever a integral como limite, separar em duas partes, achar as antiderivadas e então avaliar o limite de forma a verificar convergência e obter o valor.

Passo 2

Expressamos a integral como limite e separamos em duas integrais mais simples:
integral1^inftyl(1raizx - 1raizx+3r),dx = limMtoinftyl[integral1^M x^-tfrac12,dx ;-;integral1^M(x+3)^-tfrac12,dxr]

Passo 3

Identificamos as antiderivadas:
integral x^-tfrac12,dx = 2,x^tfrac12, integral (x+3)^-tfrac12,dx = 2,(x+3)^tfrac12

Passo 4

Agora avaliamos de x=1 até x=M:
integral1^M x^-tfrac12,dx = 2l(raizM-raiz1r)=2(raizM-1),
integral1^M (x+3)^-tfrac12,dx = 2l(raizM+3-raiz4r)=2(raizM+3-2)
Subtraindo, obtemos
I(M)=2(raizM-1)-2(raizM+3-2) =2raizM-2-2raizM+3+4 =2raizM-2raizM+3+2

Passo 5

Reescrevendo a diferença de radicais e tomando Mtoinfty:
2raizM-2raizM+3 =2l(raizM-raizM+3r) =-2cdot3raizM+raizM+3 ;xrightarrow[Mtoinfty];0
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limMtoinftyI(M)=0+2=2,
o que mostra que a integral converge e seu valor é 2.

Resposta

O valor da integral é 2.

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