Exercício 2: Calcule as integrais abaixo:
integral8^infty 1x^4 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral integral8^infty 1x^4/3 dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e aplicar as regras de integração de funções potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que possamos trabalhar com o limite infinito. Quando vemos infty como limite superior, entendemos que é uma integral imprópria. Então, reescrevemos assim:
integral8^infty 1x^4/3 dx = limb to infty integral8^b x^-4/3 dx

Passo 3

Agora, vamos integrar a função x^-4/3. Sabemos que a integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1 + C, desde que n neq -1. No nosso caso, n = -43, então:
integral x^-4/3 dx = x^-4/3 + 1-4/3 + 1 + C = x^-1/3-1/3 + C = -3x^-1/3 + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 8 a b:
integral8^b x^-4/3 dx = [-3x^-1/3]8^b = -3b^-1/3 - (-3 cdot 8^-1/3)
Simplificando:
-3b^-1/3 + 3 cdot 8^-1/3

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty (-3b^-1/3 + 3 cdot 8^-1/3)
Sabemos que b^-1/3 tende a 0 quando b vai para o infinito. Então:
0 + 3 cdot 8^-1/3 = 3 cdot 12 = 32

Resposta

A integral integral8^infty 1x^4/3 dx é igual a 32.

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