Exercício 1: Mostre que
mas
.
Ou seja, mesmo que ambos os gráficos se aproximem infinitamente do eixo x quando x tende a infinito, a área do primeiro converge, mas a do segundo não.
Ou seja, mesmo que ambos os gráficos se aproximem infinitamente do eixo x quando x tende a infinito, a área do primeiro converge, mas a do segundo não.
Passo 1
O enunciado pede para comparar dois integrais impróprios no intervalo
:
O conteúdo aqui é estudo de \emph{integrais impróprias} em domínio não limitado acima, usando limites de integração. Vamos ver que o primeiro converge a
e o segundo diverge (vai a infinito).
Passo 2
Para a primeira integral, escrevemos
Sabemos que uma antiderivada de
é
. Então
Fazendo
obtemos
Passo 3
Para a segunda integral, procedemos de modo análogo:
Como
quando
, concluímos que
\emph{diverge}, isto é, vale infinito.
\emph{diverge}, isto é, vale infinito.