Exercício 1: Mostre que integral1^infty 1x^2 d x=1 mas integral1^infty 1x d x=infty.
Ou seja, mesmo que ambos os gráficos se aproximem infinitamente do eixo x quando x tende a infinito, a área do primeiro converge, mas a do segundo não.

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois integrais impróprios no intervalo [1,infty) :
integral1^infty1x^2,dx e integral1^infty1x,dx
O conteúdo aqui é estudo de \emph{integrais impróprias} em domínio não limitado acima, usando limites de integração. Vamos ver que o primeiro converge a 1 e o segundo diverge (vai a infinito).

Passo 2

Para a primeira integral, escrevemos
integral1^infty1x^2,dx =limbtoinftyintegral1^bx^-2,dx
Sabemos que uma antiderivada de x^-2 é -x^-1. Então
integral1^bx^-2,dx =l[-x^-1r]1^b =-1b-l(-11r) =1-1b
Fazendo btoinfty obtemos
limbtoinftyl(1-1br) =1

Passo 3

Para a segunda integral, procedemos de modo análogo:
integral1^infty1x,dx =limbtoinftyintegral1^bx^-1,dx =limbtoinftyl[ln(x)r]1^b =limbtoinftyl(ln b-ln1r) =limbtoinftyln b
Como ln btoinfty quando btoinfty, concluímos que
integral1^inftytfrac1x,dx
\emph{diverge}, isto é, vale infinito.

Resposta

integral1^infty1x^2,dx=1,
integral1^infty1x,dx=infty

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