Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
e os limites são e . - A função integranda é
. - Note que em
vale , então está entre e , nunca é zero; portanto a integranda é contínua no intervalo e a integral é bem definida.
Passo 2
Ideia do método (substituição): observar que a derivada de
é
. Isso sugere a substituição
Explicando a técnica de substituição passo a passo: quando fazemos
, computamos a diferencial
usando a derivada de
:
Ou seja, o pedaço
que aparece na integral pode ser simplesmente substituído por
. Essa é a essência da substituição: trocar a variável
por
de modo que o diferencial e a integranda se encaixem.
Passo 3
Fazer a troca na integral e ajustar os limites. Com
temos os novos limites:
Substituindo
e
na integral obtemos
Passo 4
Calcular a primitiva de
. É uma fórmula padrão que
Se for útil, uma rápida justificativa dessa identidade: seja
, então
. Derivando ambos os lados em relação a
(diferença implícita) dá
, então
. Como
, segue
.
Portanto uma primitiva de é
.
Portanto uma primitiva de
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva:
Sabendo que
e
, obtemos