Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(1,5)
\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2} x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}\,\mathrm{d}x.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é x e os limites são x=0 e x=\pi/2.
  • A função integranda é \dfrac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}.
  • Note que em [0,\pi/2] vale \operatorname{sen} x\in[0,1], então 1+\operatorname{sen}^{2}x está entre 1 e 2, nunca é zero; portanto a integranda é contínua no intervalo e a integral é bem definida.

Passo 2

Ideia do método (substituição): observar que a derivada de \operatorname{sen} x é \cos x. Isso sugere a substituição
u=\operatorname{sen} x.
Explicando a técnica de substituição passo a passo: quando fazemos u=\operatorname{sen} x, computamos a diferencial du usando a derivada de \operatorname{sen} x:
du=\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)\,dx=\cos x\,dx.
Ou seja, o pedaço \cos x\,dx que aparece na integral pode ser simplesmente substituído por du. Essa é a essência da substituição: trocar a variável x por u de modo que o diferencial e a integranda se encaixem.

Passo 3

Fazer a troca na integral e ajustar os limites. Com u=\operatorname{sen} x temos os novos limites:
\text{quando }x=0,\; u=\operatorname{sen} 0=0; \qquad \text{quando }x=\pi/2,\; u=\operatorname{sen}(\pi/2)=1.
Substituindo \cos x\,dx=du e \operatorname{sen} x=u na integral obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen}^{2}x}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Calcular a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}}. É uma fórmula padrão que
\frac{d}{du}\bigl(\arctan u\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Se for útil, uma rápida justificativa dessa identidade: seja y=\arctan u, então \tan y=u. Derivando ambos os lados em relação a u (diferença implícita) dá \operatorname{sec}^{2}y\cdot \dfrac{dy}{du}=1, então \dfrac{dy}{du}=\cos^{2}y. Como \cos^{2}y=\dfrac{1}{1+\tan^{2}y}=\dfrac{1}{1+u^{2}}, segue \dfrac{d}{du}\arctan u=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan u.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+u^{2}}\,\mathrm{d}u=\bigl[\arctan u\bigr]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, obtemos
\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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