Exercício 9 Calcule as integrais abaixo:
(e)
$ \iiint_{R} \sqrt{1-z^{2}} d x d y d z$, sendo
o paralelepípedo
e
.
(e)
$ \iiint_{R} \sqrt{1-z^{2}} d x d y d z$, sendo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla:
, onde a região
é dada por
,
e
. O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e a técnica de substituição para resolver a integral em uma variável.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Fubini, escrevemos a integral iterada na ordem
:
$$\iiint_{R} \sqrt{1 - z^2},dx,dy,dz
= \int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{z} \int_{x=0}^{1} \sqrt{1 - z^2},dx,dy,dz
\int_{x=0}^{1} dx = 1,\qquad\int_{y=0}^{z} dy = z$$
Logo a integral reduz-se a
Passo 3
Para resolver
, fazemos a substituição
, de onde
e
. Os limites ficam de
até
. Assim: