Exercício 9 Calcule as integrais abaixo:
(e)
$ \iiint_{R} \sqrt{1-z^{2}} d x d y d z$, sendo integral triplaR raiz1-z^2 d x d y d z o paralelepípedo R e 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla: integral triplaR raiz1 - z^2,dx,dy,dz, onde a região R é dada por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= z e 0 <= z <= 1. O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e a técnica de substituição para resolver a integral em uma variável.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Fubini, escrevemos a integral iterada na ordem dx,dy,dz:
$$\iiint_{R} \sqrt{1 - z^2},dx,dy,dz
= \int_{z=0}^{1} \int_{y=0}^{z} \int_{x=0}^{1} \sqrt{1 - z^2},dx,dy,dz integral triplaR raiz1 - z^2,dx,dy,dz = integralz=0^1 integraly=0^z integralx=0^1 raiz1 - z^2,dx,dy,dzé\int_{x=0}^{1} dx = 1,\qquad\int_{y=0}^{z} dy = z$$
Logo a integral reduz-se a
raiz1 - z^2

Passo 3

Para resolver integral0^1 zraiz1 - z^2,dz, fazemos a substituição u = 1 - z^2, de onde du = -2z,dz e z,dz = -tfrac12du. Os limites ficam de u(0)=1 até u(1)=0. Assim:
integral0^1 zraiz1 - z^2,dz = -tfrac12 integral1^0 u^1/2,du = tfrac12 integral0^1 u^1/2,du = tfrac12 cdot l[ tfracu^3/23/2 r]0^1 = tfrac12 cdot tfrac23 = tfrac13

Resposta

tfrac13

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