Exercício 8 Calcule integral0^1 integral0^x x raizx^2+3 y^2 d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada I=integral0^1integral0^x xraizx^2+3y^2,dy,dx. O conteúdo é integração iterada em um triângulo ( 0<= y<= x<=1) e vamos usar a antiderivada de raiza^2+b^2y^2.

Passo 2

Como a variável x é constante na integração interna em y, escrevemos
integral0^xraizx^2+3y^2,dy

Passo 3

Sabemos que
integralraizx^2+3y^2,dy =y2raizx^2+3y^2+x^22raiz3lnl(raiz3y+raizx^2+3y^2r)+C

Passo 4

Avaliamos de y=0 a y=x e multiplicamos por x: ao fazer isso, tem-se
xl[x^2+x^22raiz3ln(2+raiz3)r] = x^3+x^32raiz3ln(2+raiz3)

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
I=integral0^1l(x^3+ln(2+raiz3)2raiz3x^3r)dx =l(1+ln(2+raiz3)2raiz3r)integral0^1x^3dx =14l(1+ln(2+raiz3)2raiz3r)

Passo 6

Simplificando, obtemos
I=14+ln(2+raiz3)8raiz3

Resposta

I=14+ln(2+raiz3)8raiz3

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