A temperatura T(t) de um objeto varia de acordo com a equação:
d Td t=-k(T-Ta)
onde:
  • Ta=25^circ C é a temperatura ambiente,
  • k=0.1 é a constante de resfriamento,
  • T(0)=80^circ C.
    a) Resolva a equação diferencial para encontrar T(t).
    b) Determine o tempo necessário para o objeto atingir 40^circ C.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dTdt=-kl(T-Tar)
com Ta=25^circC, k=0.1 e condição inicial T(0)=80^circC.
Este é um problema de Lei do Resfriamento de Newton, uma EDO de 1ª ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis.

Passo 2

Separe as variáveis T e t e integre:
dTT-Ta=-k,dt
integral 1T-Ta,dT=integral -k,dt
lnl|T-Tar]=-k,t+C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplique a condição inicial T(0)=80^circC para determinar C:
lnl|80-25r|=CLongrightarrow C=ln(55)
Logo
lnl|T-25r|=-0.1,t+ln(55) Longrightarrow T-25=55,e^-0.1t
e assim
T(t)=25+55,e^-0.1t

Passo 4

Para achar o tempo t em que T(t)=40^circC, faça
40=25+55,e^-0.1t Longrightarrow 55,e^-0.1t=15 Longrightarrow e^-0.1t=1555=311
-0.1,t=ln!l(311r) Longrightarrow t=-10,ln!l(311r) =10,ln!l(113r)

Passo 5

Calcule a aproximação numérica:
t=10,ln!l(tfrac113r)approx10times1,299=12,99
ou seja, cerca de 13 (mesmo) unidades de tempo.

Resposta

a) T(t)=25+55,e^-0.1t
b) t=10,ln!l(tfrac113r)approx12,99

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