A temperatura
de um objeto varia de acordo com a equação:
onde:
-
é a temperatura ambiente,
-
é a constante de resfriamento,
-
.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar
.
b) Determine o tempo necessário para o objeto atingir
.
a) Resolva a equação diferencial para encontrar
b) Determine o tempo necessário para o objeto atingir
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com
,
e condição inicial
.
Este é um problema de Lei do Resfriamento de Newton, uma EDO de 1ª ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis.
Este é um problema de Lei do Resfriamento de Newton, uma EDO de 1ª ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis.
Passo 2
Separe as variáveis
e
e integre:
onde
C é a constante de integração.
Passo 3
Aplique a condição inicial
T(0)=80^circC para determinar
C :
Logo
e assim
Passo 4
Para achar o tempo
t em que
T(t)=40^circC , faça
Passo 5
Calcule a aproximação numérica:
ou seja, cerca de
13 (mesmo) unidades de tempo.
Resposta
a)
T(t)=25+55,e^-0.1t
b) t=10,ln!l(tfrac113r)approx12,99
b)