Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão 
só está definida para (no contexto dos reais). 
- Em 
temos , então a função integranda é indefinida em . Logo, a integral está bem definida em cada intervalo onde e , ou seja em e em . 
- Não há outros dados. A tarefa é encontrar uma primitiva (família de funções cuja derivada é 
). 
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
- Observa que no integrando aparece 
no denominador e também um multiplicando esse denominador. Isso sugere usar a substituição que transforma em uma variável nova, porque a derivada de é , que aparece junto no integrando. 
- Metodo da substituição (trocar variável): se fizermos 
, então devemos calcular . Pela regra da derivada de temos 
- Reescrevendo 
em termos de obtemos . Isso permite transformar a integral original numa forma mais simples. 
Passo 3
Aplicação da substituição:
- Com 
e , a integral fica 
- Então reduzimos o problema à integral de 
, que é uma das integrais básicas. 
Passo 4
Integração da forma básica e razão do valor absoluto:
- A integral básica é
onde 
- Como 
, voltamos à variável substituindo: 
Passo 5
Verificação rápida (derivando a resposta):
- Para checar que 
é mesmo uma primitiva, calculamos : 
o que coincide com o integrando. Portanto está correto.
- Lembre-se da observação de domínio: a primitiva 
é válida para e para (em a função integranda é indefinida). 
