Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão
só está definida para (no contexto dos reais). - Em
temos , então a função integranda é indefinida em . Logo, a integral está bem definida em cada intervalo onde e , ou seja em e em . - Não há outros dados. A tarefa é encontrar uma primitiva (família de funções cuja derivada é
).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
- Observa que no integrando aparece
no denominador e também um multiplicando esse denominador. Isso sugere usar a substituição que transforma em uma variável nova, porque a derivada de é , que aparece junto no integrando. - Metodo da substituição (trocar variável): se fizermos
, então devemos calcular . Pela regra da derivada de temos
- Reescrevendo
em termos de obtemos . Isso permite transformar a integral original numa forma mais simples.
Passo 3
Aplicação da substituição:
- Com
e , a integral fica
- Então reduzimos o problema à integral de
, que é uma das integrais básicas.
Passo 4
Integração da forma básica e razão do valor absoluto:
- A integral básica é
onde
é a constante de integração. O valor absoluto aparece porque a função
tem primitiva
válida tanto para
quanto para
; isso é necessário para cobrir os dois sinais possíveis de
.
- Como
, voltamos à variável substituindo:
Passo 5
Verificação rápida (derivando a resposta):
- Para checar que
é mesmo uma primitiva, calculamos :
o que coincide com o integrando. Portanto está correto.
- Lembre-se da observação de domínio: a primitiva
é válida para e para (em a função integranda é indefinida).