Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int \frac{1}{x \ln x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{x \ln x}\, dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão \ln x só está definida para x>0 (no contexto dos reais).
  • Em x=1 temos \ln 1=0, então a função integranda \dfrac{1}{x\ln x} é indefinida em x=1. Logo, a integral está bem definida em cada intervalo onde x>0 e x\neq1, ou seja em (0,1) e em (1,\infty).
  • Não há outros dados. A tarefa é encontrar uma primitiva (família de funções cuja derivada é \dfrac{1}{x\ln x}).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
  • Observa que no integrando aparece \ln x no denominador e também um x multiplicando esse denominador. Isso sugere usar a substituição que transforma \ln x em uma variável nova, porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, que aparece junto no integrando.
  • Metodo da substituição (trocar variável): se fizermos \displaystyle u=\ln x, então devemos calcular du. Pela regra da derivada de \ln x temos
du = \frac{1}{x}\,dx.
  • Reescrevendo dx em termos de du obtemos \dfrac{dx}{x}=du. Isso permite transformar a integral original numa forma mais simples.

Passo 3

Aplicação da substituição:
  • Com \displaystyle u=\ln x e \displaystyle \frac{dx}{x}=du, a integral fica
\int \frac{1}{x \ln x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.
  • Então reduzimos o problema à integral de \dfrac{1}{u}, que é uma das integrais básicas.

Passo 4

Integração da forma básica e razão do valor absoluto:
  • A integral básica é
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. O valor absoluto aparece porque a função \dfrac{1}{u} tem primitiva \ln|u| válida tanto para u>0 quanto para u<0; isso é necessário para cobrir os dois sinais possíveis de u.
  • Como u=\ln x, voltamos à variável x substituindo:
\ln|u| + C = \ln|\ln x| + C.

Passo 5

Verificação rápida (derivando a resposta):
  • Para checar que \displaystyle F(x)=\ln|\ln x|+C é mesmo uma primitiva, calculamos F'(x):
F'(x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x},
o que coincide com o integrando. Portanto está correto.
  • Lembre-se da observação de domínio: a primitiva \ln|\ln x|+C é válida para x\in(0,1) e para x\in(1,\infty) (em x=1 a função integranda é indefinida).

Resposta

\ln|\ln x| + C

Exercícios relacionados