Exercício 3. Calcule as integrais duplas abaixo.
integral duplaD arctan (y / x) d A, onde D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4,0 <= y <= x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD arctanl(tfracyxr),dA,
em que
D = (x,y)inR^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4,;0<= y<= x
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, pois a região é um setor anelar, e a função envolve arctan(y/x).

Passo 2

Descrevemos D em coordenadas polares (r,theta). As condições 1<= x^2+y^2<=4 viram
1 <= r^2 <= 4 Longrightarrow 1 <= r <= 2,
e 0<= y<= x significa
0 <= rsintheta <= rcostheta Longrightarrow 0 <= theta <= tfracpi4

Passo 3

Em coordenadas polares, sempre que x>0 (aqui thetain[0,pi/4]), tem-se
arctanl(tfracyxr) = arctan(tantheta) = theta

Passo 4

O elemento de área é dA = r,dr,dtheta. Portanto a integral passa a ser
integral duplaDarctanl(tfracyxr),dA = integraltheta=0^pi/4integralr=1^2 theta,l(r,dr,dthetar)

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integralr=1^2 theta,r,dr = thetaintegral1^2 r,dr = theta[tfracr^22]1^2 = thetacdottfrac4-12 = tfrac32,theta

Passo 6

Agora integramos em theta:
integral0^pi/4 tfrac32,theta,dtheta = tfrac32[tfractheta^22]0^pi/4 = tfrac34,l(tfracpi4r)^2 = tfrac34,tfracpi^216 = tfrac3pi^264

Resposta

integral duplaDarctanl(tfracyxr),dA = tfrac3pi^264

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