Exercício 4 - Calcule as integrais:
\iint_{D} x d A, em que D é a região do \mathbb{R}^{2} delimitada pelas curvas y=x^{2}+1 e y=10.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x \,dA
onde D\subset\mathbb{R}^2 é a região limitada pelas curvas y = x^2 + 1 e y = 10. Vamos usar o tipo I de região (varia-ção em y para cada x) e identificar antes o intervalo de x.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de x, igualamos as curvas em que se encontram:
x^2 + 1 = 10 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm3.
Logo, x varia de -3 a 3, e para cada x temos y indo de y=x^2+1 até y=10.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada:
\iint_{D} x\,dA = \int_{x=-3}^{3}\;\int_{y=x^2+1}^{10} x\,dy\,dx.
No passo interno, x é constante em relação a y, então
\int_{y=x^2+1}^{10} x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{y=x^2+1}^{10} = x\bigl(10 - (x^2+1)\bigr) = x\,(9 - x^2).

Passo 4

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{-3}^{3} x\,(9 - x^2)\,dx.
A função f(x)=x(9-x^2) é ímpar, pois f(-x)=-f(x), e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero. Portanto, a integral de uma função ímpar em [-a,a] vale zero.

Resposta

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