Exercício 2 - Seja F(t)=f\left(2 t+3, t^{3}\right), onde f=f(u, v) é uma função real de duas variáveis reais diferenciável em \mathbb{R}^{2}.
(a) Expresse \frac{\partial F}{\partial t} em termos das derivadas parciais de f.
(b) Determine \frac{\partial F}{\partial t}(1), sabendo que \frac{\partial f}{\partial u}(5,1)=-5 e \frac{\partial f}{\partial v}(5,1)=2.

Passo 1

O enunciado define
F(t)=f\bigl(2t+3,\;t^{3}\bigr),
onde f(u,v) é diferenciável em \mathbb{R}^{2}. Queremos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis a fim de obter \frac{\partial F}{\partial t} em termos de \frac{\partial f}{\partial u} e \frac{\partial f}{\partial v} e depois avaliar esse resultado em t=1 usando os valores \frac{\partial f}{\partial u}(5,1)=-5 e \frac{\partial f}{\partial v}(5,1)=2.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, tratamos u=2t+3 e v=t^{3}. Logo,
\frac{\partial F}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)\,\frac{du}{dt} +\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)\,\frac{dv}{dt}.
Como \frac{du}{dt}=2 e \frac{dv}{dt}=3t^{2}, obtemos
\frac{\partial F}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(2t+3,t^{3}\bigr)\cdot 2 +\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(2t+3,t^{3}\bigr)\cdot 3t^{2}.

Passo 3

Para t=1, temos u=2\cdot1+3=5 e v=1^{3}=1. Substituindo os valores dados,
\frac{\partial F}{\partial t}(1) =-5\cdot 2 + 2\cdot 3\cdot 1^{2} =-10 + 6 =-4.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial F}{\partial t} =\frac{\partial f}{\partial u}\bigl(2t+3,t^{3}\bigr)\cdot 2 +\frac{\partial f}{\partial v}\bigl(2t+3,t^{3}\bigr)\cdot 3t^{2}.
(b) \displaystyle \frac{\partial F}{\partial t}(1)=-4.

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