Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int \frac{x}{2} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{2} \cos\left(x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \frac{x}{2}\cos(x^{2}). Queremos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é essa integranda) e lembrar de incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatoramos a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral, usando a propriedade \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx. Assim
\int \frac{x}{2} \cos\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int x\cos\left(x^{2}\right)\,dx.

Passo 3

Agora fazemos uma substituição (método padrão quando vemos \cos de uma função e o integrando tem algo parecido com a derivada dessa função). Seja
u = x^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2x\,dx,
portanto isolando x\,dx temos
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Expliquei isso porque a ideia é trocar a variável de integração de x para u.

Passo 4

Substituímos na integral: \cos(x^{2}) vira \cos(u) e x\,dx vira \tfrac{1}{2}du. Então
\frac{1}{2}\int x\cos\left(x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
Aqui usei apenas álgebra para multiplicar as constantes \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Integramos \cos(u). Sabemos que a derivada de \sin(u) é \cos(u), logo
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Portanto
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C.
Voltando à variável original x (substituindo u=x^{2}), obtemos
\frac{1}{4}\sin\left(x^{2}\right) + C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ficar seguro): derivando \frac{1}{4}\sin(x^{2}) usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}\sin\left(x^{2}\right)\right] = \frac{1}{4}\cos\left(x^{2}\right)\cdot 2x = \frac{x}{2}\cos\left(x^{2}\right),
que é exatamente o integrando original. Beleza — está correto.

Passo 7

Dica prática para a prova: quando você vê \int f'(x)\,\cos(f(x))\,dx (ou \sin, e^{f(x)}, etc.), pense imediatamente em fazer u=f(x). Nesse tipo de integral a substituição costuma ser direta e rápida. Exemplo extra rápido: \int x e^{x^{2}}\,dx com u=x^{2} leva a \tfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C. Força aí — você já consegue esse tipo de integral!

Resposta

\frac{1}{4}\sin\left(x^{2}\right)+C

Exercícios relacionados