Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
. Queremos encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é essa integranda) e lembrar de incluir a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: fatoramos a constante
para fora da integral, usando a propriedade
. Assim
Passo 3
Agora fazemos uma substituição (método padrão quando vemos
de uma função e o integrando tem algo parecido com a derivada dessa função). Seja
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
portanto isolando
temos
Expliquei isso porque a ideia é trocar a variável de integração de
para
.
Passo 4
Substituímos na integral:
vira
e
vira
. Então
Aqui usei apenas álgebra para multiplicar as constantes
.
Passo 5
Integramos
. Sabemos que a derivada de
é
, logo
Portanto
Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para ficar seguro): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Beleza — está correto.
Passo 7
Dica prática para a prova: quando você vê
(ou
, etc.), pense imediatamente em fazer
. Nesse tipo de integral a substituição costuma ser direta e rápida. Exemplo extra rápido:
com
leva a
. Força aí — você já consegue esse tipo de integral!