Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
. Queremos uma primitiva (antiderivada), isto é, uma função
tal que
. Não há outras restrições.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): para integrar produtos em que aparece
multiplicando uma função de
é muito comum usar uma substituição que transforme
em
. Vou escolher uma substituição simples e natural: definir uma nova variável ligada a
. Vou explicar por que isso funciona e como aplicar.
Passo 3
Escolha da substituição: defino
Agora calculo a diferencial
. Derivando
em relação a
temos
, ou seja,
Isolando
obtenho
Explicação didática: a substituição troca a variável
por
. A expressão
aparece na integral original, e
fornece exatamente
, então podemos reescrever
em termos de
. Isso simplifica porque a exponencial depende de
, que virou
.
Passo 4
Reescrevo a integral em termos de
. Substituindo
e
na integral original:
Fatorando a constante
:
Passo 5
Agora integro
. Lembrete de fórmula: para constantes
,
Aqui
, então
Aplicando ao passo anterior com o fator
:
Explicação didática: a constante
é a constante de integração; ao multiplicar por
incorporamos
normalmente — fica outra constante, que ainda chamamos de
.
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
:
Posso checar rapidamente por diferenciação (verificação): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva está correta.