Exercício 1. Calcule as integrais indefinidas abaixo.
\int x e^{7 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{7 x^{2}}\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é x e^{7 x^{2}}. Queremos uma primitiva (antiderivada), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{7 x^{2}}. Não há outras restrições.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): para integrar produtos em que aparece x multiplicando uma função de x^{2} é muito comum usar uma substituição que transforme x\,dx em du. Vou escolher uma substituição simples e natural: definir uma nova variável ligada a x^{2}. Vou explicar por que isso funciona e como aplicar.

Passo 3

Escolha da substituição: defino
u = x^{2}.
Agora calculo a diferencial du. Derivando u em relação a x temos du/dx = 2x, ou seja,
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx obtenho
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Explicação didática: a substituição troca a variável x por u. A expressão x\,dx aparece na integral original, e du fornece exatamente 2x\,dx, então podemos reescrever x\,dx em termos de du. Isso simplifica porque a exponencial depende de x^{2}, que virou u.

Passo 4

Reescrevo a integral em termos de u. Substituindo x\,dx=\dfrac{1}{2}du e x^{2}=u na integral original:
\int x e^{7 x^{2}}\,dx = \int e^{7u}\left(\frac{1}{2}\,du\right).
Fatorando a constante 1/2:
\int x e^{7 x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{7u}\,du.

Passo 5

Agora integro \int e^{7u}\,du. Lembrete de fórmula: para constantes a\neq 0,
\int e^{a u}\,du = \frac{1}{a}e^{a u} + C.
Aqui a=7, então
\int e^{7u}\,du = \frac{1}{7}e^{7u} + C.
Aplicando ao passo anterior com o fator 1/2:
\frac{1}{2}\int e^{7u}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}e^{7u} + C = \frac{1}{14}e^{7u} + C.
Explicação didática: a constante C é a constante de integração; ao multiplicar por 1/2 incorporamos C normalmente — fica outra constante, que ainda chamamos de C.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u=x^{2}:
\frac{1}{14}e^{7u} + C = \frac{1}{14}e^{7x^{2}} + C.
Posso checar rapidamente por diferenciação (verificação): derivando \dfrac{1}{14}e^{7x^{2}} usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{14}e^{7x^{2}}\right) = \frac{1}{14} e^{7x^{2}}\cdot (14x) = x e^{7x^{2}},
que é exatamente o integrando. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{14}e^{7x^{2}}+C

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