Exercício 8. Calcule as integrais indefinidas como uma série de potências e determine seu intervalo de convergência.
\int x \cos \left(x^{3}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx
usando série de potências e que determinemos seu intervalo de convergência. Vamos usar a expansão de Taylor de \cos t em torno de t=0, substituir t=x^3, multiplicar por x e depois integrar termo a termo.

Passo 2

A série de Taylor de \cos t ao redor de t=0 é
\cos t \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,t^{2n},
válida para todo t\in\mathbb{R} (raio de convergência infinito).

Passo 3

Fazendo t = x^{3} obtemos
\cos\bigl(x^{3}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,\bigl(x^{3}\bigr)^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{6n}.

Passo 4

Multiplicando por x temos a série para o integrando:
x\cos\bigl(x^{3}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\,x^{6n+1}.

Passo 5

Integramos termo a termo: para cada n,
\int x^{6n+1}\,dx =\frac{x^{6n+2}}{6n+2}+C_{n}.
Logo a antiderivada é
\int x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(6n+2)}\,x^{6n+2}+C.

Passo 6

O raio de convergência da série de \cos t é infinito. A substituição t=x^3, a multiplicação por x e a integração termo a termo mantêm esse raio. Portanto a série resultante converge para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, intervalo de convergência (-\infty,\infty).

Resposta

\boxed{\int x\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!\,(6n+2)}\,x^{6n+2}+C, \quad -\infty<x<\infty.}

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