Exercício 8. Calcule as integrais indefinidas como uma série de potências e determine seu intervalo de convergência.
.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
usando série de potências e que determinemos seu intervalo de convergência. Vamos usar a expansão de Taylor de
em torno de
, substituir
, multiplicar por
e depois integrar termo a termo.
Passo 2
A série de Taylor de
ao redor de
é
válida para todo
(raio de convergência infinito).
Passo 3
Fazendo
obtemos
Passo 4
Multiplicando por
temos a série para o integrando:
Passo 5
Integramos termo a termo: para cada
,
Logo a antiderivada é
Passo 6
O raio de convergência da série de
é infinito. A substituição
, a multiplicação por
e a integração termo a termo mantêm esse raio. Portanto a série resultante converge para todo
, ou seja, intervalo de convergência
.