Exercício 7. Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge. f(x)=e^{2 x}, c=0
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin (caso especial de Taylor em torno de c=0) para a função f(x)=e^{2x} e pede também o conjunto de valores de x em que essa série converge. Vamos usar a fórmula conhecida da série de e^t e depois substituir t=2x.
Passo 2
Lembramos que a série de Maclaurin para a função e^t é
e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}.
Isso decorre do fato de que todas as derivadas de e^t em t=0 valem 1, e da definição da série de Taylor.
Passo 3
Para obter a série de e^{2x}, fazemos t=2x. Assim,