Exercício 7. Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x)=e^{2 x}, c=0

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (caso especial de Taylor em torno de c=0) para a função f(x)=e^{2x} e pede também o conjunto de valores de x em que essa série converge. Vamos usar a fórmula conhecida da série de e^t e depois substituir t=2x.

Passo 2

Lembramos que a série de Maclaurin para a função e^t é
e^t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}.
Isso decorre do fato de que todas as derivadas de e^t em t=0 valem 1, e da definição da série de Taylor.

Passo 3

Para obter a série de e^{2x}, fazemos t=2x. Assim,
e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\,x^n.

Passo 4

Para determinar onde essa série converge, aplicamos o teste da razão. Seja
a_n = \frac{2^n}{n!}\,x^n.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}x^{n+1}\,\frac{n!}{2^n\,x^n}\right| = \frac{|2x|}{n+1}.
Quando n\to\infty, \frac{|2x|}{n+1}\to0 para todo x\in\mathbb{R}. Logo, a série converge para todo real.

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=e^{2x} é
e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!}\,x^n
e ela converge para todo x\in\mathbb{R}.

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