Exercício 3: Calcule as integrais.
\int_{3}^{4} \frac{3+3 x / 2}{x^{2}+1-5 x / 2} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int_{3}^{4} \frac{3 + \tfrac{3x}{2}}{\,x^{2} + 1 - \tfrac{5x}{2}\,}\,dx
É uma integral de função racional. Vamos precisar reescrever o numerador em função da derivada do denominador e de uma constante, fazer a decomposição
\frac{3 + \tfrac{3x}{2}}{D(x)} = A\,\frac{D'(x)}{D(x)} + \frac{B}{D(x)},
onde D(x)=x^{2}-\tfrac{5}{2}x+1, e depois integrar cada termo.

Passo 2

Definimos
D(x)=x^{2}-\frac{5}{2}x+1, \quad D'(x)=2x-\frac{5}{2}.
O numerador é
N(x)=3+\frac{3x}{2}.
Procuramos A e B tais que
N(x)=A\,D'(x)+B.

Passo 3

Escrevendo
A\,\bigl(2x-\tfrac{5}{2}\bigr)+B =2A\,x-\frac{5A}{2}+B
devemos ter
2A=\frac{3}{2}, \quad -\frac{5A}{2}+B=3.
Daí A=\tfrac{3}{4} e
B=3+\frac{5A}{2} =3+\frac{5\cdot\frac{3}{4}}{2} =3+\frac{15}{8} =\frac{39}{8}.

Passo 4

A integral separa em
\int \frac{N(x)}{D(x)}\,dx =\frac{3}{4}\int \frac{D'(x)}{D(x)}\,dx +\frac{39}{8}\int \frac{1}{D(x)}\,dx.

Passo 5

A primeira parte é imediata:
\frac{3}{4}\int \frac{D'}{D}\,dx =\frac{3}{4}\ln\bigl|D(x)\bigr|.

Passo 6

Para a segunda parte completamos o quadrado em
D(x)=x^{2}-\frac{5}{2}x+1 =\bigl(x-\tfrac{5}{4}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{2}.
Fazendo u=x-\tfrac{5}{4} e a=\tfrac{3}{4}, temos
\int \frac{dx}{D(x)} =\int \frac{du}{u^{2}-a^{2}} =\frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{u-a}{u+a}\Bigr| =\frac{1}{2\cdot\frac{3}{4}}\ln\Bigl|\frac{x-2}{x-\tfrac12}\Bigr| =\frac{2}{3}\ln\Bigl|\frac{x-2}{x-\tfrac12}\Bigr|.
Multiplicando por \tfrac{39}{8}
\frac{39}{8}\cdot\frac{2}{3} =\frac{13}{4},
logo a segunda parte é
\frac{13}{4}\ln\Bigl|\frac{x-2}{x-\tfrac12}\Bigr|.

Passo 7

Assim uma primitiva é
F(x) =\frac{3}{4}\ln\bigl(x^{2}-\tfrac{5}{2}x+1\bigr) +\frac{13}{4}\ln\Bigl|\frac{x-2}{x-\tfrac12}\Bigr|.

Passo 8

Calculamos F(4) e F(3).
Para x=4:
D(4)=7, \quad \frac{4-2}{4-\tfrac12}=\frac{2}{\tfrac{7}{2}}=\frac{4}{7},
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F(4) =\frac{3}{4}\ln7 +\frac{13}{4}\ln\frac{4}{7} =\frac{3}{4}\ln7 +\frac{13}{4}\bigl(\ln4-\ln7\bigr) =-\frac{5}{2}\ln7+\frac{13}{2}\ln2.
Para x=3:
D(3)=\frac{5}{2}, \quad \frac{3-2}{3-\tfrac12}=\frac{1}{\tfrac{5}{2}}=\frac{2}{5},
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F(3) =\frac{3}{4}\ln\frac{5}{2} +\frac{13}{4}\ln\frac{2}{5} =-\frac{5}{2}\ln\frac{5}{2}.

Passo 9

A integral definida é
I=F(4)-F(3) =-\frac{5}{2}\ln7+\frac{13}{2}\ln2 \;+\;\frac{5}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr).
Reunindo logs:
I =4\ln2+\frac{5}{2}\ln5-\frac{5}{2}\ln7 =4\ln2+\frac{5}{2}\ln\!\frac{5}{7}.

Resposta

\boxed{\,4\ln2 \;+\;\frac{5}{2}\ln\frac{5}{7}\,}.

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