Exercício 1: Calcule as integrais iteradas:
integral1^2 integral1^2 y e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integraly=1^2integralx=1^2y,e^x y,dx,dy
O conteúdo é integração de função de duas variáveis por partes, integrando primeiro em x (tratando y como constante) e depois em y. Vamos usar antiderivadas de exponencial.

Passo 2

Calcule a integral interna em x:
integral1^2y,e^x y,dx
Como y é constante em relação a x, fazemos
integral y,e^x y,dx = yintegral e^x y,dx = ycdot1y,e^x y = e^x y
Logo, avaliando de x=1 a x=2,
integral1^2y,e^x y,dx = e^2y-e^y

Passo 3

Agora integramos em y:
integral1^2l(e^2y-e^yr),dy =integral1^2e^2y,dy-integral1^2e^y,dy
Usamos integral e^a y,dy=tfrac1ae^a y.

Passo 4

Compute cada termo:
integral1^2e^2y,dy =12e^2y|1^2 =12e^4-12e^2,
integral1^2e^y,dy =e^y|1^2 =e^2-e
Subtraindo,
integral1^2l(e^2y-e^yr),dy =l(tfrac12e^4-tfrac12e^2r)-l(e^2-er) =tfrac12e^4-tfrac32e^2+e

Resposta

integral1^2integral1^2y,e^x y,dx,dy =e^42-3,e^22+e

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