Exercício 5. Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{\pi / 6} \int_{0}^{\pi / 2}(\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y) d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=0}^{\pi/6}\int_{x=0}^{\pi/2}\bigl(\sin x+\sin y\bigr)\,dx\,dy.
Esse é um caso de função contínua num retângulo, então podemos aplicar o Teorema de Fubini e trocar a ordem ou separar a integral pela linearidade.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{\pi/2}(\sin x+\sin y)\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi/6}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx\,dy + \int_{0}^{\pi/6}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\sin y\,dx\,dy.

Passo 3

Calculemos o primeiro termo:
\int_{0}^{\pi/6}\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx\Bigr]dy.
A integral interna em x é
\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi/2} = -\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos(0) = 0+1 = 1.
Logo o primeiro termo vira
\int_{0}^{\pi/6}1\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{\pi/6} = \frac{\pi}{6}.

Passo 4

Agora o segundo termo:
\int_{0}^{\pi/6}\Bigl[\int_{0}^{\pi/2}\sin y\,dx\Bigr]dy.
Como \sin y não depende de x,
\int_{0}^{\pi/2}\sin y\,dx = \sin y\cdot\Bigl[x\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \sin y\cdot\frac{\pi}{2}.
Portanto o segundo termo é
\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi/6}\sin y\,dy = \frac{\pi}{2}\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi/6} = \frac{\pi}{2}\bigl(-\cos\tfrac{\pi}{6}+\cos0\bigr) = \frac{\pi}{2}\Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}+1\Bigr) = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{4}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
\frac{\pi}{6} \;+\;\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi\sqrt{3}}{4}\Bigr) = \Bigl(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Bigr)-\frac{\pi\sqrt{3}}{4} = \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{4}}

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