Exercício 6. Calcule a integral dupla no retângulo R indicado.
\iint_{R} x y^{2} d A, R=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 3\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,y^{2}\,dA
no retângulo R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0\le y \le 3\}.
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada, e depois executar as integrais de polinômios.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como f(x,y)=x\,y^2 é contínua em R, podemos escrever
\iint_{R} x\,y^{2}\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\!\int_{y=0}^{3} x\,y^{2}\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em relação a y, tratando x como constante:
\int_{0}^{3} x\,y^{2}\,dy = x \int_{0}^{3} y^{2}\,dy = x \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = x \cdot \frac{27}{3} = 9x.

Passo 4

Agora integramos o resultado em relação a x:
\int_{0}^{1} 9x\,dx = 9 \int_{0}^{1} x\,dx = 9 \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}.

Resposta

\frac{9}{2}.

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