Exercício 6. Calcule a integral dupla no retângulo R indicado.
\iint_{R} \cos (x+y) d A, R=\left\{(x, y): 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \pi, 0 \leq y \leq \frac{1}{2} \pi\right\};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\cos(x+y)\,dA
no retângulo
R=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\\\ 0\le y\le \tfrac{\pi}{2}\bigr\}.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para escrever a integral dupla como iterada e depois integrar em cada variável.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como \cos(x+y) é contínua em R, temos
\iint_{R}\cos(x+y)\,dA =\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\!\biggl(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(x+y)\,dy\biggr)dx.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos(x+y)\,dy =\bigl[\sin(x+y)\bigr]_{y=0}^{y=\tfrac{\pi}{2}} =\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(x).
Como \sin(x+\tfrac{\pi}{2})=\cos x, isso é
\cos x-\sin x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(\cos x-\sin x\bigr)\,dx =\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x\,dx -\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\,dx.
Sabemos que
\int\cos x\,dx=\sin x \quad\text{e}\quad \int\sin x\,dx=-\cos x,
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\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos x\,dx =\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}=1-0=1,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin x\,dx =\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} =\bigl(-0\bigr)-\bigl(-1\bigr)=1.

Passo 5

Substituindo, obtemos
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\bigl(\cos x-\sin x\bigr)\,dx =1-1=0.
Portanto a integral dupla vale zero.

Resposta

0

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